Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=x4−2x2y equals x raised to the exponent 4 end-exponent minus 2 x squared
𝑦=𝑥4−2𝑥2
  
Tập xác định  
Tập xác định của hàm số là Rthe real numbers
ℝ
.  
Sự biến thiên  
 
Đạo hàm: . Đạo hàm bậc nhất là y′=4x3−4x=4x(x2−1)y prime equals 4 x cubed minus 4 x equals 4 x open paren x squared minus 1 close paren
𝑦′=4𝑥3−4𝑥=4𝑥(𝑥2−1)
.
 
Đạo hàm bậc hai là y′′=12x2−4y double prime equals 12 x squared minus 4
𝑦′′=12𝑥2−4
.
Cực trị:
y′=0⇔4x(x2−1)=0⇔x=0y prime equals 0 implies and is implied by 4 x open paren x squared minus 1 close paren equals 0 implies and is implied by x equals 0
𝑦′=0⇔4𝑥(𝑥2−1)=0⇔𝑥=0
hoặc x=±1x equals plus or minus 1
𝑥=±1
.
Tại x=0x equals 0
𝑥=0
, y′′=-4<0y double prime equals negative 4 is less than 0
𝑦′′=−4<0
, nên hàm số đạt cực đại tại x=0x equals 0
𝑥=0
, yCĐ=0y sub cap C Đ end-sub equals 0
𝑦𝐶Đ=0
.
Tại x=±1x equals plus or minus 1
𝑥=±1
, y′′=8>0y double prime equals 8 is greater than 0
𝑦′′=8>0
, nên hàm số đạt cực tiểu tại x=±1x equals plus or minus 1
𝑥=±1
, yCT=-1y sub cap C cap T end-sub equals negative 1
𝑦𝐶𝑇=−1
.
Giới hạn:
limx→±∞(x4−2x2)=+∞limit under-script x right arrow plus or minus infinity end-scripts open paren x raised to the exponent 4 end-exponent minus 2 x squared close paren equals positive infinity
lim𝑥→±∞(𝑥4−2𝑥2)=+∞
.
Bảng biến thiên:
x∈(−∞,-1)x is an element of open paren negative infinity comma negative 1 close paren
𝑥∈(−∞,−1)
, y′<0y prime is less than 0
𝑦′<0
, hàm số nghịch biến.
x∈(-1,0)x is an element of open paren negative 1 comma 0 close paren
𝑥∈(−1,0)
, y′>0y prime is greater than 0
𝑦′>0
, hàm số đồng biến.
x∈(0,1)x is an element of open paren 0 comma 1 close paren
𝑥∈(0,1)
, y′<0y prime is less than 0
𝑦′<0
, hàm số nghịch biến.
x∈(1,+∞)x is an element of open paren 1 comma positive infinity close paren
𝑥∈(1,+∞)
, y′>0y prime is greater than 0
𝑦′>0
, hàm số đồng biến.  
Đồ thị  
Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng qua trục Oycap O y
𝑂𝑦
. Các điểm đặc biệt bao gồm các điểm cực trị (0,0)open paren 0 comma 0 close paren
(0,0)
, (-1,-1)open paren negative 1 comma negative 1 close paren
(−1,−1)
, (1,-1)open paren 1 comma negative 1 close paren
(1,−1)
.  
 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=−x4+2x2−1y equals negative x raised to the exponent 4 end-exponent plus 2 x squared minus 1
𝑦=−𝑥4+2𝑥2−1
  
Tập xác định  
Tập xác định của hàm số là Rthe real numbers
ℝ
.  
 
Sự biến thiên  
 
Đạo hàm: . Đạo hàm bậc nhất là y′=-4x3+4x=-4x(x2−1)y prime equals negative 4 x cubed plus 4 x equals negative 4 x open paren x squared minus 1 close paren
𝑦′=−4𝑥3+4𝑥=−4𝑥(𝑥2−1)
.
 
Đạo hàm bậc hai là y′′=-12x2+4y double prime equals negative 12 x squared plus 4
𝑦′′=−12𝑥2+4
.
Cực trị:
y′=0⇔-4x(x2−1)=0⇔x=0y prime equals 0 implies and is implied by negative 4 x open paren x squared minus 1 close paren equals 0 implies and is implied by x equals 0
𝑦′=0⇔−4𝑥(𝑥2−1)=0⇔𝑥=0
hoặc x=±1x equals plus or minus 1
𝑥=±1
.
Tại x=0x equals 0
𝑥=0
, y′′=4>0y double prime equals 4 is greater than 0
𝑦′′=4>0
, nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0x equals 0
𝑥=0
, yCT=-1y sub cap C cap T end-sub equals negative 1
𝑦𝐶𝑇=−1
.
Tại x=±1x equals plus or minus 1
𝑥=±1
, y′′=-8<0y double prime equals negative 8 is less than 0
𝑦′′=−8<0
, nên hàm số đạt cực đại tại x=±1x equals plus or minus 1
𝑥=±1
, yCĐ=0y sub cap C Đ end-sub equals 0
𝑦𝐶Đ=0
.
Giới hạn:
limx→±∞(−x4+2x2−1)=−∞limit under-script x right arrow plus or minus infinity end-scripts open paren negative x raised to the exponent 4 end-exponent plus 2 x squared minus 1 close paren equals negative infinity
lim𝑥→±∞(−𝑥4+2𝑥2−1)=−∞
.
Bảng biến thiên:
x∈(−∞,-1)x is an element of open paren negative infinity comma negative 1 close paren
𝑥∈(−∞,−1)
, y′>0y prime is greater than 0
𝑦′>0
, hàm số đồng biến.
x∈(-1,0)x is an element of open paren negative 1 comma 0 close paren
𝑥∈(−1,0)
, y′<0y prime is less than 0
𝑦′<0
, hàm số nghịch biến.
x∈(0,1)x is an element of open paren 0 comma 1 close paren
𝑥∈(0,1)
, y′>0y prime is greater than 0
𝑦′>0
, hàm số đồng biến.
x∈(1,+∞)x is an element of open paren 1 comma positive infinity close paren
𝑥∈(1,+∞)
, y′<0y prime is less than 0
𝑦′<0
, hàm số nghịch biến.  
 
Đồ thị  
Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng qua trục Oycap O y
𝑂𝑦
. Các điểm đặc biệt bao gồm các điểm cực trị (0,-1)open paren 0 comma negative 1 close paren
(0,−1)
, (-1,0)open paren negative 1 comma 0 close paren
(−1,0)
, (1,0)open paren 1 comma 0 close paren
(1,0)
.  
 
Kết luận  
Hai hàm số đã được khảo sát sự biến thiên và các thông tin cần thiết để vẽ đồ thị đã được cung cấp.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=x4−2x2y equals x raised to the exponent 4 end-exponent minus 2 x squared
𝑦=𝑥4−2𝑥2
  
Tập xác định  
Tập xác định của hàm số là Rthe real numbers
ℝ
.  
Sự biến thiên  
 
Đạo hàm: . Đạo hàm bậc nhất là y′=4x3−4x=4x(x2−1)y prime equals 4 x cubed minus 4 x equals 4 x open paren x squared minus 1 close paren
𝑦′=4𝑥3−4𝑥=4𝑥(𝑥2−1)
.
 
Đạo hàm bậc hai là y′′=12x2−4y double prime equals 12 x squared minus 4
𝑦′′=12𝑥2−4
.
Cực trị:
y′=0⇔4x(x2−1)=0⇔x=0y prime equals 0 implies and is implied by 4 x open paren x squared minus 1 close paren equals 0 implies and is implied by x equals 0
𝑦′=0⇔4𝑥(𝑥2−1)=0⇔𝑥=0
hoặc x=±1x equals plus or minus 1
𝑥=±1
.
Tại x=0x equals 0
𝑥=0
, y′′=-4<0y double prime equals negative 4 is less than 0
𝑦′′=−4<0
, nên hàm số đạt cực đại tại x=0x equals 0
𝑥=0
, yCĐ=0y sub cap C Đ end-sub equals 0
𝑦𝐶Đ=0
.
Tại x=±1x equals plus or minus 1
𝑥=±1
, y′′=8>0y double prime equals 8 is greater than 0
𝑦′′=8>0
, nên hàm số đạt cực tiểu tại x=±1x equals plus or minus 1
𝑥=±1
, yCT=-1y sub cap C cap T end-sub equals negative 1
𝑦𝐶𝑇=−1
.
Giới hạn:
limx→±∞(x4−2x2)=+∞limit under-script x right arrow plus or minus infinity end-scripts open paren x raised to the exponent 4 end-exponent minus 2 x squared close paren equals positive infinity
lim𝑥→±∞(𝑥4−2𝑥2)=+∞
.
Bảng biến thiên:
x∈(−∞,-1)x is an element of open paren negative infinity comma negative 1 close paren
𝑥∈(−∞,−1)
, y′<0y prime is less than 0
𝑦′<0
, hàm số nghịch biến.
x∈(-1,0)x is an element of open paren negative 1 comma 0 close paren
𝑥∈(−1,0)
, y′>0y prime is greater than 0
𝑦′>0
, hàm số đồng biến.
x∈(0,1)x is an element of open paren 0 comma 1 close paren
𝑥∈(0,1)
, y′<0y prime is less than 0
𝑦′<0
, hàm số nghịch biến.
x∈(1,+∞)x is an element of open paren 1 comma positive infinity close paren
𝑥∈(1,+∞)
, y′>0y prime is greater than 0
𝑦′>0
, hàm số đồng biến.  
Đồ thị  
Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng qua trục Oycap O y
𝑂𝑦
. Các điểm đặc biệt bao gồm các điểm cực trị (0,0)open paren 0 comma 0 close paren
(0,0)
, (-1,-1)open paren negative 1 comma negative 1 close paren
(−1,−1)
, (1,-1)open paren 1 comma negative 1 close paren
(1,−1)
.  
 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=−x4+2x2−1y equals negative x raised to the exponent 4 end-exponent plus 2 x squared minus 1
𝑦=−𝑥4+2𝑥2−1
  
Tập xác định  
Tập xác định của hàm số là Rthe real numbers
ℝ
.  
 
Sự biến thiên  
 
Đạo hàm: . Đạo hàm bậc nhất là y′=-4x3+4x=-4x(x2−1)y prime equals negative 4 x cubed plus 4 x equals negative 4 x open paren x squared minus 1 close paren
𝑦′=−4𝑥3+4𝑥=−4𝑥(𝑥2−1)
.
 
Đạo hàm bậc hai là y′′=-12x2+4y double prime equals negative 12 x squared plus 4
𝑦′′=−12𝑥2+4
.
Cực trị:
y′=0⇔-4x(x2−1)=0⇔x=0y prime equals 0 implies and is implied by negative 4 x open paren x squared minus 1 close paren equals 0 implies and is implied by x equals 0
𝑦′=0⇔−4𝑥(𝑥2−1)=0⇔𝑥=0
hoặc x=±1x equals plus or minus 1
𝑥=±1
.
Tại x=0x equals 0
𝑥=0
, y′′=4>0y double prime equals 4 is greater than 0
𝑦′′=4>0
, nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0x equals 0
𝑥=0
, yCT=-1y sub cap C cap T end-sub equals negative 1
𝑦𝐶𝑇=−1
.
Tại x=±1x equals plus or minus 1
𝑥=±1
, y′′=-8<0y double prime equals negative 8 is less than 0
𝑦′′=−8<0
, nên hàm số đạt cực đại tại x=±1x equals plus or minus 1
𝑥=±1
, yCĐ=0y sub cap C Đ end-sub equals 0
𝑦𝐶Đ=0
.
Giới hạn:
limx→±∞(−x4+2x2−1)=−∞limit under-script x right arrow plus or minus infinity end-scripts open paren negative x raised to the exponent 4 end-exponent plus 2 x squared minus 1 close paren equals negative infinity
lim𝑥→±∞(−𝑥4+2𝑥2−1)=−∞
.
Bảng biến thiên:
x∈(−∞,-1)x is an element of open paren negative infinity comma negative 1 close paren
𝑥∈(−∞,−1)
, y′>0y prime is greater than 0
𝑦′>0
, hàm số đồng biến.
x∈(-1,0)x is an element of open paren negative 1 comma 0 close paren
𝑥∈(−1,0)
, y′<0y prime is less than 0
𝑦′<0
, hàm số nghịch biến.
x∈(0,1)x is an element of open paren 0 comma 1 close paren
𝑥∈(0,1)
, y′>0y prime is greater than 0
𝑦′>0
, hàm số đồng biến.
x∈(1,+∞)x is an element of open paren 1 comma positive infinity close paren
𝑥∈(1,+∞)
, y′<0y prime is less than 0
𝑦′<0
, hàm số nghịch biến.  
 
Đồ thị  
Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng qua trục Oycap O y
𝑂𝑦
. Các điểm đặc biệt bao gồm các điểm cực trị (0,-1)open paren 0 comma negative 1 close paren
(0,−1)
, (-1,0)open paren negative 1 comma 0 close paren
(−1,0)
, (1,0)open paren 1 comma 0 close paren
(1,0)
.  
 
Kết luận  
Hai hàm số đã được khảo sát sự biến thiên và các thông tin cần thiết để vẽ đồ thị đã được cung cấp.