Hướng dẫn giải từng bước
Bước 1: Tính góc còn lại
Tam giác ABC có tổng 3 góc = 180°. Vậy:

A=180∘−B−C=180∘−45∘−75∘=60∘A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circA=180∘−B−C=180∘−45∘−75∘=60∘
Bước 2: Đặt tên cạnh
Đề bài cho cạnh BC = a = 5
(Theo quy ước: cạnh đối diện góc A là a, đối diện góc B là b, đối diện góc C là c)

Vậy:

a=5a = 5a=5
Góc A = 60°
Góc B = 45°
Góc C = 75°

Bước 3: Áp dụng định lý sin để tìm b và c
Định lý sin:

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}sinAa​=sinBb​=sinCc​Tính b (cạnh AC):
b=a⋅sin⁡Bsin⁡A=5⋅sin⁡45∘sin⁡60∘b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{5 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}b=sinAa⋅sinB​=sin60∘5⋅sin45∘​ =5⋅2232=523≈4.0825= \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \approx 4.0825=23​​5⋅22​​​=3​52​​≈4.0825Tính c (cạnh AB):
c=a⋅sin⁡Csin⁡A=5⋅sin⁡75∘sin⁡60∘c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{5 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ}c=sinAa⋅sinC​=sin60∘5⋅sin75∘​ sin⁡75∘=sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circsin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘ =22⋅32+22⋅12=6+24= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}=22​​⋅23​​+22​​⋅21​=46​+2​​Vậy:

c=5⋅(6+24)32=10(6+2)43=5(6+2)23≈5.575c = \frac{5 \cdot \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4\sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2\sqrt{3}} \approx 5.575c=23​​5⋅(46​+2​​)​=43​10(6​+2​)​=23​5(6​+2​)​≈5.575
Bước 4: Tính nửa chu vi (p)
p=a+b+c2=5+4.0825+5.5752=14.65752=7.32875p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 4.0825 + 5.575}{2} = \frac{14.6575}{2} = 7.32875p=2a+b+c​=25+4.0825+5.575​=214.6575​=7.32875
Bước 5: Tính diện tích tam giác (S)
Công thức:

S=12⋅b⋅c⋅sin⁡AS = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin AS=21​⋅b⋅c⋅sinA =12⋅4.0825⋅5.575⋅sin⁡60∘=12⋅4.0825⋅5.575⋅32= \frac{1}{2} \cdot 4.0825 \cdot 5.575 \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 4.0825 \cdot 5.575 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=21​⋅4.0825⋅5.575⋅sin60∘=21​⋅4.0825⋅5.575⋅23​​ ≈11.089\approx 11.089≈11.089
Bước 6: Tính bán kính đường tròn nội tiếp (r)
Công thức:

r=Sp=11.0897.32875≈1.51r = \frac{S}{p} = \frac{11.089}{7.32875} \approx \boxed{1.51}r=pS​=7.3287511.089​≈1.51​