+ Giả sử đặt hình chóp S.ABCD trong không gian với các điểm có tọa độ như sau:
A(0,0,0); B(1,0,0); C(1,1,0); D(0,1,0); S(0,0,1)
(đáy ABCD là hình vuông nằm trên mặt phẳng z = 0, đỉnh S nằm trên trục Oz)
+ M là trung điểm của SC, ta có:
M = $\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+1}{\hspace{0.17em}2},\frac{0+1}{2}\right)$ = $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$
+ N là trung điểm của SD, ta có:
N = $\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{\hspace{0.17em}2},\frac{1+0}{2}\right)$ = $\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$
+ Ba điểm S(0,0,1), A(0,0,0), C(1,1,0) không thẳng hàng ⇒ xác định được mặt phẳng.
+ 2 vectơ chỉ phương:
$\overrightarrow{SA}$ = A − S = (0, 0, −1)
$\overrightarrow{SC}$ = C − S = (1, 1, −1)
+ Vector pháp tuyến : $\overrightarrow{n}$ = $\overrightarrow{SA}$ × $\overrightarrow{SC}$ :
$\overrightarrow{n} = \left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 0& 0& -1\\ 1& 1& -1\end{array}\right| = \overrightarrow{i}(0\cdot (-1)-(-1)\cdot 1) - \overrightarrow{j}(0\cdot (-1)-(-1)\cdot 1) +\hspace{0.17em}\overrightarrow{k}(0\cdot 1-0\cdot 1)=(1,-1,0)$
+ Phương trình mặt phẳng (SAC) có dạng:
1(x − 0) − 1(y − 0) + 0(z − 0) = 0 ⇒ x − y = 0 ⇒ x = y
+ Điểm B(1,0,0), điểm N(0,$\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$0,$\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$0)
+ Vectơ chỉ phương: $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$2 = N − B = (−1,$\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$3)
+ Phương trình tham số của đường thẳng BN:
+ $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$4 ( t $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$5 R)

Bước 1. Xác định các yếu tố
Mặt phẳng (SAC)(SAC)(SAC) chứa ba điểm S,A,CS,A,CS,A,C.
Điểm NNN nằm trên cạnh SDSDSD. Vậy đường thẳng BNBNBN muốn cắt (SAC)(SAC)(SAC) thì ta cần tìm một đường trong (SAC)(SAC)(SAC) cũng đi qua NNN.

Bước 2. Xác định đường trong (SAC)(SAC)(SAC) qua NNN
Trong (SAC)(SAC)(SAC), có giao tuyến với mặt phẳng (SAD)(SAD)(SAD).
Giao tuyến của (SAC)(SAC)(SAC) và (SAD)(SAD)(SAD) chính là đường thẳng SASASA.
Nhưng NNN không thuộc SASASA.
Ta thử tìm giao tuyến (SAC)(SAC)(SAC) với (BCD)(BCD)(BCD): không hợp lý vì không chứa NNN.

👉 Để giải, ta xét mặt phẳng (SNC):

S,N,CS,N,CS,N,C xác định một mặt phẳng.
Mặt phẳng (SNC)(SNC)(SNC) cắt (SAC)(SAC)(SAC) theo giao tuyến đi qua S,CS,CS,C.
Nghĩa là (SNC)∩(SAC)=SC(SNC) \cap (SAC) = SC(SNC)∩(SAC)=SC.

Bước 3. Xét giao điểm
MMM là trung điểm của SCSCSC.
NNN là trung điểm của SDSDSD.
Đường thẳng BNBNBN nằm trong mặt phẳng (BND)(BND)(BND).
Để tìm giao điểm:

Mặt phẳng (BND)(BND)(BND) và (SAC)(SAC)(SAC) sẽ cắt nhau theo một đường.
Điểm chung của hai mặt phẳng này phải nằm trên BNBNBN.

Cách làm chuẩn (phương pháp hình học không gian):
Lấy I=AC∩BNI = AC \cap BNI=AC∩BN. Khi đó III chính là điểm cần tìm PPP.
Vì sao?

III nằm trên BNBNBN.
III nằm trên ACACAC, mà AC⊂(SAC)AC \subset (SAC)AC⊂(SAC).
Vậy I=P=AC∩BNI = P = AC \cap BNI=P=AC∩BN.

✅ Kết luận:
Giao điểm PPP của BNBNBN với mặt phẳng (SAC)(SAC)(SAC) chính là giao điểm của BNBNBN với ACACAC.

Để tìm giao điểm P của đường thẳng BN với mặt phẳng (SAC), ta tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBN). Giao tuyến này chính là đường thẳng SB vì S là điểm chung của hai mặt phẳng. Do đó, giao điểm P là điểm nằm trên cả BN và SB, tức là P chính là điểm B. Tuy nhiên, bài toán yêu cầu tìm giao điểm của BN với mặt phẳng (SAC), và điểm P cần tìm là giao điểm của BN và mặt phẳng (SAC). Do đó, P chính là điểm nằm trên cả BN và mặt phẳng (SAC), mà ta đã xác định P nằm trên SB, tức là P chính là điểm S. Do S nằm trên mặt phẳng (SAC) và BN đi qua S, nên P chính là điểm S. 
Chi tiết cách giải: 
1. Xác định hai mặt phẳng:
Mặt phẳng thứ nhất là (SAC).
Mặt phẳng thứ hai là mặt phẳng chứa đường thẳng BN. Vì N là trung điểm của SD, nên mặt phẳng chứa BN có thể là (SBD).
2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
Điểm S chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Đường thẳng BD nằm trong (SBD).
Tìm giao điểm của đường thẳng BD với mặt phẳng (SAC).
3. Giao điểm P là điểm chung của đường thẳng BN và mặt phẳng (SAC)
.Đường thẳng BN đi qua B và N.
Mặt phẳng (SAC) bao gồm các điểm S, A, C.
4. Kết luận:
Vì S chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBN), đường thẳng SB sẽ là giao tuyến.
Do P nằm trên cả BN và (SAC), mà BN cắt (SAC) tại điểm P, nên P nằm trên giao tuyến SB.
Do đó, giao điểm P của BN với mặt phẳng (SAC) chính là điểm S.