Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=x3−3x2y equals x cubed minus 3 x squared
𝑦=𝑥3−3𝑥2
  
Tập xác định  
Tập xác định của hàm số là Rthe real numbers
ℝ
.  
Sự biến thiên  
Chiều biến thiên  
Đạo hàm bậc nhất được tính là y′=3x2−6xy prime equals 3 x squared minus 6 x
𝑦′=3𝑥2−6𝑥
.
Đặt y′=0y prime equals 0
𝑦′=0
, ta có 3x2−6x=0⟹3x(x−2)=03 x squared minus 6 x equals 0 ⟹ 3 x open paren x minus 2 close paren equals 0
3𝑥2−6𝑥=0⟹3𝑥(𝑥−2)=0
.
Các nghiệm là x=0x equals 0
𝑥=0
và x=2x equals 2
𝑥=2
.
Bảng xét dấu của y′y prime
𝑦′
:  
Khi x<0x is less than 0
𝑥<0
, y′>0y prime is greater than 0
𝑦′>0
, hàm số đồng biến.
Khi 0<x<20 is less than x is less than 2
0<𝑥<2
, y′<0y prime is less than 0
𝑦′<0
, hàm số nghịch biến.
Khi x>2x is greater than 2
𝑥>2
, y′>0y prime is greater than 0
𝑦′>0
, hàm số đồng biến.
Cực trị  
Tại x=0x equals 0
𝑥=0
, y′=0y prime equals 0
𝑦′=0
và y′y prime
𝑦′
đổi dấu từ dương sang âm, nên hàm số đạt cực đại tại x=0x equals 0
𝑥=0
. Giá trị cực đại là y(0)=03−3(0)2=0y open paren 0 close paren equals 0 cubed minus 3 open paren 0 close paren squared equals 0
𝑦(0)=03−3(0)2=0
.
Tại x=2x equals 2
𝑥=2
, y′=0y prime equals 0
𝑦′=0
và y′y prime
𝑦′
đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại x=2x equals 2
𝑥=2
. Giá trị cực tiểu là y(2)=23−3(2)2=8−12=-4y open paren 2 close paren equals 2 cubed minus 3 open paren 2 close paren squared equals 8 minus 12 equals negative 4
𝑦(2)=23−3(2)2=8−12=−4
.  
 
Giới hạn tại vô cực  
limx→−∞(x3−3x2)=−∞limit under-script x right arrow negative infinity end-scripts open paren x cubed minus 3 x squared close paren equals negative infinity
lim𝑥→−∞(𝑥3−3𝑥2)=−∞
.
limx→+∞(x3−3x2)=+∞limit under-script x right arrow positive infinity end-scripts open paren x cubed minus 3 x squared close paren equals positive infinity
lim𝑥→+∞(𝑥3−3𝑥2)=+∞
.