a) Thể tích khối tứ diện EMNP  
Tính các vectơ EM⃗modifying-above cap E cap M with right arrow
𝐸𝑀⃗
, EN⃗modifying-above cap E cap N with right arrow
𝐸𝑁⃗
, EP⃗modifying-above cap E cap P with right arrow
𝐸𝑃⃗
.
EM⃗=M−E=(2−1;4−2;1−(-3))=(1;2;4)modifying-above cap E cap M with right arrow equals cap M minus cap E equals open paren 2 minus 1 ; 4 minus 2 ; 1 minus open paren negative 3 close paren close paren equals open paren 1 ; 2 ; 4 close paren
𝐸𝑀⃗=𝑀−𝐸=(2−1;4−2;1−(−3))=(1;2;4)
.
EN⃗=N−E=(-5−1;-2−2;3−(-3))=(-6;-4;6)modifying-above cap E cap N with right arrow equals cap N minus cap E equals open paren negative 5 minus 1 ; negative 2 minus 2 ; 3 minus open paren negative 3 close paren close paren equals open paren negative 6 ; negative 4 ; 6 close paren
𝐸𝑁⃗=𝑁−𝐸=(−5−1;−2−2;3−(−3))=(−6;−4;6)
.
EP⃗=P−E=(0−1;1−2;2−(-3))=(-1;-1;5)modifying-above cap E cap P with right arrow equals cap P minus cap E equals open paren 0 minus 1 ; 1 minus 2 ; 2 minus open paren negative 3 close paren close paren equals open paren negative 1 ; negative 1 ; 5 close paren
𝐸𝑃⃗=𝑃−𝐸=(0−1;1−2;2−(−3))=(−1;−1;5)
.
Tính tích có hướng của EM⃗modifying-above cap E cap M with right arrow
𝐸𝑀⃗
và EN⃗modifying-above cap E cap N with right arrow
𝐸𝑁⃗
.
EM⃗×EN⃗=((2)(6)−(4)(-4);(4)(-6)−(1)(6);(1)(-4)−(2)(-6))=(12+16;-24−6;-4+12)=(28;-30;8)modifying-above cap E cap M with right arrow cross modifying-above cap E cap N with right arrow equals open paren open paren 2 close paren open paren 6 close paren minus open paren 4 close paren open paren negative 4 close paren ; open paren 4 close paren open paren negative 6 close paren minus open paren 1 close paren open paren 6 close paren ; open paren 1 close paren open paren negative 4 close paren minus open paren 2 close paren open paren negative 6 close paren close paren equals open paren 12 plus 16 ; negative 24 minus 6 ; negative 4 plus 12 close paren equals open paren 28 ; negative 30 ; 8 close paren
𝐸𝑀⃗×𝐸𝑁⃗=((2)(6)−(4)(−4);(4)(−6)−(1)(6);(1)(−4)−(2)(−6))=(12+16;−24−6;−4+12)=(28;−30;8)
.
Tính tích hỗn tạp của (EM⃗×EN⃗)⋅EP⃗open paren modifying-above cap E cap M with right arrow cross modifying-above cap E cap N with right arrow close paren center dot modifying-above cap E cap P with right arrow
(𝐸𝑀⃗×𝐸𝑁⃗)⋅𝐸𝑃⃗
.
(EM⃗×EN⃗)⋅EP⃗=(28)(-1)+(-30)(-1)+(8)(5)=-28+30+40=42open paren modifying-above cap E cap M with right arrow cross modifying-above cap E cap N with right arrow close paren center dot modifying-above cap E cap P with right arrow equals open paren 28 close paren open paren negative 1 close paren plus open paren negative 30 close paren open paren negative 1 close paren plus open paren 8 close paren open paren 5 close paren equals negative 28 plus 30 plus 40 equals 42
(𝐸𝑀⃗×𝐸𝑁⃗)⋅𝐸𝑃⃗=(28)(−1)+(−30)(−1)+(8)(5)=−28+30+40=42
.
Tính thể tích khối tứ diện EMNP.
VEMNP=16|(EM⃗×EN⃗)⋅EP⃗|=16|42|=7cap V sub cap E cap M cap N cap P end-sub equals 1 over 6 end-fraction the absolute value of open paren modifying-above cap E cap M with right arrow cross modifying-above cap E cap N with right arrow close paren center dot modifying-above cap E cap P with right arrow end-absolute-value equals 1 over 6 end-fraction the absolute value of 42 end-absolute-value equals 7
𝑉𝐸𝑀𝑁𝑃=16|(𝐸𝑀⃗×𝐸𝑁⃗)⋅𝐸𝑃⃗|=16|42|=7
.
Mệnh đề a) là đúng.  
b) Mặt phẳng (EMP) có một vectơ pháp tuyến là u⃗=(14;9;1)modifying-above u with right arrow equals open paren 14 ; 9 ; 1 close paren
𝑢⃗=(14;9;1)
  
Tính các vectơ EM⃗modifying-above cap E cap M with right arrow
𝐸𝑀⃗
và EP⃗modifying-above cap E cap P with right arrow
𝐸𝑃⃗
.
EM⃗=(1;2;4)modifying-above cap E cap M with right arrow equals open paren 1 ; 2 ; 4 close paren
𝐸𝑀⃗=(1;2;4)
.
EP⃗=(-1;-1;5)modifying-above cap E cap P with right arrow equals open paren negative 1 ; negative 1 ; 5 close paren
𝐸𝑃⃗=(−1;−1;5)
.
Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (EMP) bằng cách lấy tích có hướng của EM⃗modifying-above cap E cap M with right arrow
𝐸𝑀⃗
và EP⃗modifying-above cap E cap P with right arrow
𝐸𝑃⃗
.
n⃗EMP=EM⃗×EP⃗=((2)(5)−(4)(-1);(4)(-1)−(1)(5);(1)(-1)−(2)(-1))=(10+4;-4−5;-1+2)=(14;-9;1)modifying-above n with right arrow sub cap E cap M cap P end-sub equals modifying-above cap E cap M with right arrow cross modifying-above cap E cap P with right arrow equals open paren open paren 2 close paren open paren 5 close paren minus open paren 4 close paren open paren negative 1 close paren ; open paren 4 close paren open paren negative 1 close paren minus open paren 1 close paren open paren 5 close paren ; open paren 1 close paren open paren negative 1 close paren minus open paren 2 close paren open paren negative 1 close paren close paren equals open paren 10 plus 4 ; negative 4 minus 5 ; negative 1 plus 2 close paren equals open paren 14 ; negative 9 ; 1 close paren
𝑛⃗𝐸𝑀𝑃=𝐸𝑀⃗×𝐸𝑃⃗=((2)(5)−(4)(−1);(4)(−1)−(1)(5);(1)(−1)−(2)(−1))=(10+4;−4−5;−1+2)=(14;−9;1)
.
So sánh với vectơ u⃗modifying-above u with right arrow
𝑢⃗
đã cho.
Vectơ pháp tuyến tính được là (14;-9;1)open paren 14 ; negative 9 ; 1 close paren
(14;−9;1)
, trong khi vectơ u⃗modifying-above u with right arrow
𝑢⃗
là (14;9;1)open paren 14 ; 9 ; 1 close paren
(14;9;1)
. Hai vectơ này không cùng phương.
Mệnh đề b) là sai.  
 
c) Mặt phẳng song song với hai đường thẳng MN, EP nhận n⃗=(28;-33;-1)modifying-above n with right arrow equals open paren 28 ; negative 33 ; negative 1 close paren
𝑛⃗=(28;−33;−1)
làm vectơ pháp tuyến  
Tính vectơ chỉ phương của đường thẳng MN.
MN⃗=N−M=(-5−2;-2−4;3−1)=(-7;-6;2)modifying-above cap M cap N with right arrow equals cap N minus cap M equals open paren negative 5 minus 2 ; negative 2 minus 4 ; 3 minus 1 close paren equals open paren negative 7 ; negative 6 ; 2 close paren
𝑀𝑁⃗=𝑁−𝑀=(−5−2;−2−4;3−1)=(−7;−6;2)
.
Tính vectơ chỉ phương của đường thẳng EP.
EP⃗=(-1;-1;5)modifying-above cap E cap P with right arrow equals open paren negative 1 ; negative 1 ; 5 close paren
𝐸𝑃⃗=(−1;−1;5)
.
Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng song song với MN và EP bằng cách lấy tích có hướng của MN⃗modifying-above cap M cap N with right arrow
𝑀𝑁⃗
và EP⃗modifying-above cap E cap P with right arrow
𝐸𝑃⃗
.
n⃗MN,EP=MN⃗×EP⃗=((-6)(5)−(2)(-1);(2)(-1)−(-7)(5);(-7)(-1)−(-6)(-1))=(-30+2;-2+35;7−6)=(-28;33;1)modifying-above n with right arrow sub cap M cap N comma cap E cap P end-sub equals modifying-above cap M cap N with right arrow cross modifying-above cap E cap P with right arrow equals open paren open paren negative 6 close paren open paren 5 close paren minus open paren 2 close paren open paren negative 1 close paren ; open paren 2 close paren open paren negative 1 close paren minus open paren negative 7 close paren open paren 5 close paren ; open paren negative 7 close paren open paren negative 1 close paren minus open paren negative 6 close paren open paren negative 1 close paren close paren equals open paren negative 30 plus 2 ; negative 2 plus 35 ; 7 minus 6 close paren equals open paren negative 28 ; 33 ; 1 close paren
𝑛⃗𝑀𝑁,𝐸𝑃=𝑀𝑁⃗×𝐸𝑃⃗=((−6)(5)−(2)(−1);(2)(−1)−(−7)(5);(−7)(−1)−(−6)(−1))=(−30+2;−2+35;7−6)=(−28;33;1)
.
So sánh với vectơ n⃗modifying-above n with right arrow
𝑛⃗
đã cho.
Vectơ pháp tuyến tính được là (-28;33;1)open paren negative 28 ; 33 ; 1 close paren
(−28;33;1)
, trong khi vectơ n⃗modifying-above n with right arrow
𝑛⃗
là (28;-33;-1)open paren 28 ; negative 33 ; negative 1 close paren
(28;−33;−1)
. Hai vectơ này cùng phương (ngược chiều).
Mệnh đề c) là đúng.  
 
d) Mặt phẳng (P) : mx+ny−6z−7=0m x plus n y minus 6 z minus 7 equals 0
𝑚𝑥+𝑛𝑦−6𝑧−7=0
song song với (Q) : x+2y−3z−4=0x plus 2 y minus 3 z minus 4 equals 0
𝑥+2𝑦−3𝑧−4=0
thì m+n=6m plus n equals 6
𝑚+𝑛=6
  
Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
n⃗P=(m;n;-6)modifying-above n with right arrow sub cap P equals open paren m ; n ; negative 6 close paren
𝑛⃗𝑃=(𝑚;𝑛;−6)
.
n⃗Q=(1;2;-3)modifying-above n with right arrow sub cap Q equals open paren 1 ; 2 ; negative 3 close paren
𝑛⃗𝑄=(1;2;−3)
.
Điều kiện để hai mặt phẳng song song là các vectơ pháp tuyến phải cùng phương.
n⃗P=k⋅n⃗Qmodifying-above n with right arrow sub cap P equals k center dot modifying-above n with right arrow sub cap Q
𝑛⃗𝑃=𝑘⋅𝑛⃗𝑄
với kk
𝑘
là một hằng số.
(m;n;-6)=k⋅(1;2;-3)open paren m ; n ; negative 6 close paren equals k center dot open paren 1 ; 2 ; negative 3 close paren
(𝑚;𝑛;−6)=𝑘⋅(1;2;−3)
.
Thiết lập hệ phương trình.
m=k⋅1=km equals k center dot 1 equals k
𝑚=𝑘⋅1=𝑘
.
n=k⋅2=2kn equals k center dot 2 equals 2 k
𝑛=𝑘⋅2=2𝑘
.
-6=k⋅(-3)⟹k=2negative 6 equals k center dot open paren negative 3 close paren ⟹ k equals 2
−6=𝑘⋅(−3)⟹𝑘=2
.
Tìm giá trị của mm
𝑚
và nn
𝑛
.
m=2m equals 2
𝑚=2
.
n=2⋅2=4n equals 2 center dot 2 equals 4
𝑛=2⋅2=4
.
Tính tổng m+nm plus n
𝑚+𝑛
.
m+n=2+4=6m plus n equals 2 plus 4 equals 6
𝑚+𝑛=2+4=6
.
Mệnh đề d) là đúng.  
 
Kết luận  
Các mệnh đề đúng là a), c), d).