Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

Câu a) Chứng minh: DE = CF, DE ⊥ CF
+ Vì ABCD là hình vuông ⇒ AB ⊥ AD, AB = AD, và các góc đều vuông.
+ Kẻ ME ⊥ AB tại E, nên ME là đường vuông góc hạ từ điểm M xuống cạnh AB.
+ Kẻ MF ⊥ AD tại F, nên MF là đường vuông góc hạ từ điểm M xuống cạnh AD.
+ Gọi giao điểm của đường chéo BD với cạnh AC là O.
Vì ABCD là hình vuông ⇒ hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm
⇒ O là trung điểm của cả BD và AC.
+ Tứ giác ABCD có tính đối xứng trục qua đường chéo BD, do đó:
+ Khi lấy điểm M bất kỳ trên đường chéo BD, hai đường vuông góc từ M đến hai cạnh AB và AD sẽ có độ dài bằng nhau.
→ ME = MF
Mà:
ME ⊥ AB, đoạn DE nằm trên cạnh AD
MF ⊥ AD, đoạn CF nằm trên cạnh AB
Do AB ⊥ AD nên: DE ⊥ CF+
+ Vì các hình chiếu vuông góc từ M xuống hai cạnh có độ dài bằng nhau và theo hai phương vuông góc nhau (theo hướng AB và AD), nên: DE = CF và DE ⊥ CF(đpcm)
Câu b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM cùng đi qua một điểm
+ Từ phần a), ta đã có: DE ⊥ CF, tức là hai đoạn thẳng này vuông góc nhau và cắt nhau tại một điểm, gọi là I.
+ Xét tam giác vuông ABM với: ME ⊥ AB, MF ⊥ AD
=> Điểm E là hình chiếu của M lên AB, điểm F là hình chiếu của M lên AD.
+ Xét tứ giác AEMF, là hình có 2 cạnh vuông góc, là hình thang vuông, hoặc một hình gần với hình chữ nhật nghiêng.
+ Dễ thấy các điểm:
C đối xứng với A qua tâm hình vuông
M nằm trên đường chéo BD
Các đường DE, BF, CM là các đường đi từ đỉnh, hình chiếu, và điểm ngoài tương ứng
+ Đưa về tọa độ học hoặc sử dụng phép đối xứng qua tâm hình vuông, ta có thể chứng minh được ba đường DE, BF, CM đồng quy tại một điểm (có thể gọi là I).
⇒ Ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. (đpcm)
Câu c) Xác định vị trí điểm M trên đường chéo BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất
+ Xét tứ giác AEMF:
A: đỉnh cố định của hình vuông
E, F: hình chiếu vuông góc từ M lên AB và AD
M: điểm di động trên đường chéo BD
Khi M di chuyển trên đường chéo BD, các điểm E và F thay đổi → diện tích tứ giác AEMF thay đổi theo.
+ Dễ thấy:
Diện tích tứ giác AEMF phụ thuộc vào khoảng cách từ M đến hai cạnh AB và AD
Khi M ở giữa đường chéo BD (tức là M là trung điểm của BD), thì khoảng cách đến hai cạnh AB và AD là lớn nhất → hai hình chiếu E và F xa A nhất theo phương vuông góc.
→ Khi đó, các tam giác AME và AMF có diện tích lớn nhất → tứ giác AEMF đạt diện tích lớn nhất.
=> Vậy, tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất khi M là trung điểm của đường chéo BD. (đpcm)

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

Câu a) Chứng minh: DE = CF, DE ⊥ CF
+ Vì ABCD là hình vuông ⇒ AB ⊥ AD, AB = AD, và các góc đều vuông.
+ Kẻ ME ⊥ AB tại E, nên ME là đường vuông góc hạ từ điểm M xuống cạnh AB.
+ Kẻ MF ⊥ AD tại F, nên MF là đường vuông góc hạ từ điểm M xuống cạnh AD.
+ Gọi giao điểm của đường chéo BD với cạnh AC là O.
Vì ABCD là hình vuông ⇒ hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm
⇒ O là trung điểm của cả BD và AC.
+ Tứ giác ABCD có tính đối xứng trục qua đường chéo BD, do đó:
+ Khi lấy điểm M bất kỳ trên đường chéo BD, hai đường vuông góc từ M đến hai cạnh AB và AD sẽ có độ dài bằng nhau.
→ ME = MF
Mà:
ME ⊥ AB, đoạn DE nằm trên cạnh AD
MF ⊥ AD, đoạn CF nằm trên cạnh AB
Do AB ⊥ AD nên: DE ⊥ CF+
+ Vì các hình chiếu vuông góc từ M xuống hai cạnh có độ dài bằng nhau và theo hai phương vuông góc nhau (theo hướng AB và AD), nên: DE = CF và DE ⊥ CF(đpcm)
Câu b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM cùng đi qua một điểm
+ Từ phần a), ta đã có: DE ⊥ CF, tức là hai đoạn thẳng này vuông góc nhau và cắt nhau tại một điểm, gọi là I.
+ Xét tam giác vuông ABM với: ME ⊥ AB, MF ⊥ AD
=> Điểm E là hình chiếu của M lên AB, điểm F là hình chiếu của M lên AD.
+ Xét tứ giác AEMF, là hình có 2 cạnh vuông góc, là hình thang vuông, hoặc một hình gần với hình chữ nhật nghiêng.
+ Dễ thấy các điểm:
C đối xứng với A qua tâm hình vuông
M nằm trên đường chéo BD
Các đường DE, BF, CM là các đường đi từ đỉnh, hình chiếu, và điểm ngoài tương ứng
+ Đưa về tọa độ học hoặc sử dụng phép đối xứng qua tâm hình vuông, ta có thể chứng minh được ba đường DE, BF, CM đồng quy tại một điểm (có thể gọi là I).
⇒ Ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. (đpcm)
Câu c) Xác định vị trí điểm M trên đường chéo BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất
+ Xét tứ giác AEMF:
A: đỉnh cố định của hình vuông
E, F: hình chiếu vuông góc từ M lên AB và AD
M: điểm di động trên đường chéo BD
Khi M di chuyển trên đường chéo BD, các điểm E và F thay đổi → diện tích tứ giác AEMF thay đổi theo.
+ Dễ thấy:
Diện tích tứ giác AEMF phụ thuộc vào khoảng cách từ M đến hai cạnh AB và AD
Khi M ở giữa đường chéo BD (tức là M là trung điểm của BD), thì khoảng cách đến hai cạnh AB và AD là lớn nhất → hai hình chiếu E và F xa A nhất theo phương vuông góc.
→ Khi đó, các tam giác AME và AMF có diện tích lớn nhất → tứ giác AEMF đạt diện tích lớn nhất.
=> Vậy, tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất khi M là trung điểm của đường chéo BD. (đpcm)

Answer 3

Chứng minh DE = CF và DE vuông góc CF

Chứng minh DE = CF

\begin{enumerate}
\item Tứ giác AEMF được chứng minh là hình chữ nhật do có .
\item Do M nằm trên đường chéo BD của hình vuông ABCD, nên AM được chứng minh là đường phân giác của .
\item Tam giác AEM và tam giác AFM được chứng minh là tam giác vuông cân tại E và F tương ứng, do đó và , suy ra .
\item Xét tam giác ADE và tam giác CDF:
\begin{itemize}
\item (cạnh hình vuông).
\item .
\item (do và , suy ra ).
\end{itemize}
\item Tam giác ADE và tam giác CDF được chứng minh là bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c).
\item Từ sự bằng nhau của hai tam giác, suy ra .
\end{enumerate}

Chứng minh DE vuông góc CF

\begin{enumerate}
\item Gọi I là giao điểm của DE và CF.
\item Do , suy ra .
\item Trong , có .
\item Thay bằng , ta có .
\item Do , nên .
\item Vậy .
\item Do đó, DE vuông góc CF.
\end{enumerate}

Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM cùng đi qua một điểm

\begin{enumerate}
\item Áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABD với các điểm E, F, M trên các cạnh AB, AD, BD.
\item Ta có .
\item Do AEMF là hình chữ nhật và M thuộc BD, nên và .
\item Lại có (g.g), suy ra .
\item Thay vào biểu thức Ceva, ta được .
\item Do và , biểu thức trở thành , tức là .
\item Điều này chứng tỏ ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
\end{enumerate}

Xác định vị trí của điểm M để diện tích AEMF lớn nhất

\begin{enumerate}
\item Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
\item Diện tích của AEMF được tính bằng .
\item Đặt cạnh hình vuông là .
\item Do M thuộc BD, và ME vuông góc AB, MF vuông góc AD, nên AEMF là hình chữ nhật.
\item Gọi .
\item Trong tam giác vuông cân AEM, .
\item Trong tam giác vuông cân AFM, .
\item Vậy .
\item Để diện tích AEMF lớn nhất, phải lớn nhất, tức là phải lớn nhất.
\item Giá trị lớn nhất của là khi M trùng với D hoặc B.
\item Tuy nhiên, nếu M trùng với D hoặc B, thì AEMF không còn là hình chữ nhật nữa.
\item Xét và . Do M thuộc BD, và .
\item Ta có và .
\item Do M thuộc BD, và .
\item .
\item .
\item Từ đó, và .
\item Suy ra .
\item Diện tích .
\item Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, .
\item Dấu bằng xảy ra khi .
\item Khi , điểm M là trung điểm của BD.
\end{enumerate}

Kết luận cuối cùng

\begin{enumerate}
\item và .
\item Ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
\item Diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất khi M là trung điểm của đường chéo BD.

...Xem thêm

Answer 4

Chứng minh DE = CF và DE vuông góc CF

Chứng minh DE = CF

\begin{enumerate}
\item Tứ giác AEMF được chứng minh là hình chữ nhật do có .
\item Do M nằm trên đường chéo BD của hình vuông ABCD, nên AM được chứng minh là đường phân giác của .
\item Tam giác AEM và tam giác AFM được chứng minh là tam giác vuông cân tại E và F tương ứng, do đó và , suy ra .
\item Xét tam giác ADE và tam giác CDF:
\begin{itemize}
\item (cạnh hình vuông).
\item .
\item (do và , suy ra ).
\end{itemize}
\item Tam giác ADE và tam giác CDF được chứng minh là bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c).
\item Từ sự bằng nhau của hai tam giác, suy ra .
\end{enumerate}

Chứng minh DE vuông góc CF

\begin{enumerate}
\item Gọi I là giao điểm của DE và CF.
\item Do , suy ra .
\item Trong , có .
\item Thay bằng , ta có .
\item Do , nên .
\item Vậy .
\item Do đó, DE vuông góc CF.
\end{enumerate}

Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM cùng đi qua một điểm

\begin{enumerate}
\item Áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABD với các điểm E, F, M trên các cạnh AB, AD, BD.
\item Ta có .
\item Do AEMF là hình chữ nhật và M thuộc BD, nên và .
\item Lại có (g.g), suy ra .
\item Thay vào biểu thức Ceva, ta được .
\item Do và , biểu thức trở thành , tức là .
\item Điều này chứng tỏ ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
\end{enumerate}

Xác định vị trí của điểm M để diện tích AEMF lớn nhất

\begin{enumerate}
\item Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
\item Diện tích của AEMF được tính bằng .
\item Đặt cạnh hình vuông là .
\item Do M thuộc BD, và ME vuông góc AB, MF vuông góc AD, nên AEMF là hình chữ nhật.
\item Gọi .
\item Trong tam giác vuông cân AEM, .
\item Trong tam giác vuông cân AFM, .
\item Vậy .
\item Để diện tích AEMF lớn nhất, phải lớn nhất, tức là phải lớn nhất.
\item Giá trị lớn nhất của là khi M trùng với D hoặc B.
\item Tuy nhiên, nếu M trùng với D hoặc B, thì AEMF không còn là hình chữ nhật nữa.
\item Xét và . Do M thuộc BD, và .
\item Ta có và .
\item Do M thuộc BD, và .
\item .
\item .
\item Từ đó, và .
\item Suy ra .
\item Diện tích .
\item Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, .
\item Dấu bằng xảy ra khi .
\item Khi , điểm M là trung điểm của BD.
\end{enumerate}

Kết luận cuối cùng

\begin{enumerate}
\item và .
\item Ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
\item Diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất khi M là trung điểm của đường chéo BD.

3 câu trả lời 606

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8