Để chứng minh AD² + AE² không phụ thuộc vào vị trí đường thẳng d, ta sử dụng phép quay quanh điểm A một góc 90 độ để biến B thành C (hoặc C thành B). Khi đó, đường hình chiếu D của B lên d sẽ biến thành đường hình chiếu E' của C lên d', trong đó d' là đường thẳng quay của d. Tam giác AD'E' sẽ vuông cân tại A và có AD' = AE', suy ra AD'² + AE'² không đổi, điều này dẫn đến AD² + AE² không đổi.  
Chứng minh:
1. Xác định các điểm:
Gọi đường thẳng d là đường thẳng đi qua A và không cắt BC.  
D là hình chiếu của B trên d, nên BD ⊥ d.  
E là hình chiếu của C trên d, nên CE ⊥ d.  
2. Thực hiện phép quay:
Ta thực hiện phép quay tâm A, góc quay 90° (hoặc -90°), biến tam giác ABC vuông cân tại A thành chính nó.
Phép quay này biến điểm B thành điểm C (hoặc C thành B).
Nó cũng biến đường thẳng d (qua A) thành một đường thẳng d' (cũng qua A) sao cho d ⊥ d'.  
3. Xét phép quay trên các đoạn thẳng:
Trong phép quay này, đường thẳng BD ⊥ d sẽ biến thành một đường thẳng B'D' ⊥ d'.  
Vì phép quay biến B thành C, nên B' chính là C.  
Vậy, CE' ⊥ d', trong đó E' là hình chiếu của C trên d'.  
4. Sử dụng tính chất tam giác vuông cân:
Tam giác ABC vuông cân tại A. D là hình chiếu của B lên d, E là hình chiếu của C lên d.  
Do phép quay, tam giác ADB quay thành tam giác CEA.  
Tam giác ADB vuông tại D. Do phép quay, tam giác này biến thành tam giác CEA vuông tại E.  
AD = AE (do phép quay).  
5. Kết luận:
Ta có tam giác ABE và CAE là tam giác vuông tại B và C.  
Trong tam giác vuông cân ABC, khi thực hiện phép quay 90 độ quanh A, điểm B biến thành C và đường thẳng d biến thành đường thẳng d'.
Khi đó, hình chiếu của B trên d (là D) sẽ biến thành hình chiếu của C trên d' (là E'), với AD' = CE và AE' = CD.  
Vì AD' = AE và AE' = AD, ta có AD² + AE² = AE'² + AD'² = CE² + CD².  
Do tam giác ABC vuông cân tại A, ta có AD = CE và AE = CD.  
Vì vậy, AD² + AE² = CE² + CD² = AD² + AE².  
Điều này chứng tỏ tổng AD² + AE² không đổi, không phụ thuộc vào vị trí đường thẳng d.