Ta có bất đẳng thức cần chứng minh là:
$a^2 + b^2 + c^2 \ge 3$Từ giả thiết, ta có:$a + b + c + 3ab + 3bc + 3ca = 12$
Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức quen thuộc $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$ và $a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3}$.
Ta có:
$12 = a + b + c + 3(ab + bc + ca) \le \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)} + 3(ab+bc+ca)$Vì $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab+bc+ca$, ta có:$12 \le \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)} + 3(a^2+b^2+c^2)$
Đặt $t = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, với $t \ge 0$.
Bất đẳng thức trở thành:
$12 \le \sqrt{3}t + 3t^2$
$3t^2 + \sqrt{3}t - 12 \ge 0$Giải phương trình $3t^2 + \sqrt{3}t - 12 = 0$:$\Delta = (\sqrt{3})^2 - 4(3)(-12) = 3 + 144 = 147$
$t = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{147}}{6} = \frac{-\sqrt{3} \pm 7\sqrt{3}}{6}$Vì $t \ge 0$, ta có:$t = \frac{-\sqrt{3} + 7\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$
Vậy bất phương trình $3t^2 + \sqrt{3}t - 12 \ge 0$ có nghiệm là $t \ge \sqrt{3}$ hoặc $t \le - \frac{4\sqrt{3}}{3}$. Vì $t \ge 0$, ta có $t \ge \sqrt{3}$.
Hay $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \ge \sqrt{3}$.
Bình phương hai vế, ta được:
$a^2 + b^2 + c^2 \ge 3$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ và $3a^2 + \sqrt{3}a - 12 = 0$.
Từ giả thiết $a+b+c+3ab+3bc+3ca=12$, khi $a=b=c$, ta có:
$3a + 3(3a^2) = 12$
$3a + 9a^2 = 12$
$9a^2 + 3a - 12 = 0$
$3a^2 + a - 4 = 0$
$(3a+4)(a-1) = 0$
Do đó $a = 1$ hoặc $a = -4/3$.
Nếu $a=1$, thì $a^2+b^2+c^2 = 1^2+1^2+1^2 = 3$.
Nếu $a=-4/3$, thì $a^2+b^2+c^2 = (-4/3)^2+(-4/3)^2+(-4/3)^2 = 3 \times \frac{16}{9} = \frac{16}{3} \ge 3$.
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
---
## Cách 2: Phương pháp biến đổi tương đương
Ta có:
$a + b + c + 3ab + 3bc + 3ca = 12$0Mặt khác, ta có:$a + b + c + 3ab + 3bc + 3ca = 12$1Từ đó, suy ra:$a + b + c + 3ab + 3bc + 3ca = 12$2Thay vào giả thiết, ta được:$a + b + c + 3ab + 3bc + 3ca = 12$3Đặt $S = a+b+c$ và $Q = a^2+b^2+c^2$.$a + b + c + 3ab + 3bc + 3ca = 12$4$a + b + c + 3ab + 3bc + 3ca = 12$5$a + b + c + 3ab + 3bc + 3ca = 12$6
$a + b + c + 3ab + 3bc + 3ca = 12$7Ta cần chứng minh $Q \ge 3$, tức là:$a + b + c + 3ab + 3bc + 3ca = 12$8
$a + b + c + 3ab + 3bc + 3ca = 12$9Để chứng minh điều này, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:$12 = a + b + c + 3(ab + bc + ca) \le \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)} + 3(ab+bc+ca)$0$12 = a + b + c + 3(ab + bc + ca) \le \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)} + 3(ab+bc+ca)$1$12 = a + b + c + 3(ab + bc + ca) \le \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)} + 3(ab+bc+ca)$2$12 = a + b + c + 3(ab + bc + ca) \le \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)} + 3(ab+bc+ca)$3$12 = a + b + c + 3(ab + bc + ca) \le \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)} + 3(ab+bc+ca)$4
$12 = a + b + c + 3(ab + bc + ca) \le \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)} + 3(ab+bc+ca)$5
Do đó $S \ge 3$ hoặc $S \le -4$.
Khi $S \ge 3$, thì $S^2 + \frac{2}{3}S - 11 \ge 3^2 + \frac{2}{3}(3) - 11 = 9+2-11 = 0$, nên bất đẳng thức đúng.
Khi $S \le -4$, thì $S^2 + \frac{2}{3}S - 11 \ge (-4)^2 + \frac{2}{3}(-4) - 11 = 16 - \frac{8}{3} - 11 = 5 - \frac{8}{3} = \frac{7}{3} > 0$, nên bất đẳng thức cũng đúng.
Vậy bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2 \ge 3$ đã được chứng minh.

Ta có bất đẳng thức cần chứng minh là:
a2Từ giả thiết, ta có:a
Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức quen thuộc a2+b2+c2≥ab+bc+ca và a2+b2+c2≥(a+b+c)23.
Ta có:
12Vì a2+b2+c2≥ab+bc+ca, ta có:12
Đặt t=√a2+b2+c2, với t≥0.
Bất đẳng thức trở thành:
12
3Giải phương trình 3t2+√3t−12=0:Δ
tVì t≥0, ta có:t
Vậy bất phương trình 3t2+√3t−12≥0 có nghiệm là t≥√3 hoặc t≤−4√33. Vì t≥0, ta có t≥√3.
Hay √a2+b2+c2≥√3.
Bình phương hai vế, ta được:
a2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c và 3a2+√3a−12=0.
Từ giả thiết a+b+c+3ab+3bc+3ca=12, khi a=b=c, ta có:
3a+3(3a2)=12
3a+9a2=12
9a2+3a−12=0
3a2+a−4=0
(3a+4)(a−1)=0
Do đó a=1 hoặc a=−4/3.
Nếu a=1, thì a2+b2+c2=12+12+12=3.
Nếu a=−4/3, thì a2+b2+c2=(−4/3)2+(−4/3)2+(−4/3)2=3×169=163≥3.
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
---
## Cách 2: Phương pháp biến đổi tương đương
Ta có:
a0Mặt khác, ta có:a1Từ đó, suy ra:a2Thay vào giả thiết, ta được:a3Đặt S=a+b+c và Q=a2+b2+c2.a4a5a6
a7Ta cần chứng minh Q≥3, tức là:a8
a9Để chứng minh điều này, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:120121122123124
125
Do đó S≥3 hoặc S≤−4.
Khi S≥3, thì S2+23S−11≥32+23(3)−11=9+2−11=0, nên bất đẳng thức đúng.
Khi S≤−4, thì S2+23S−11≥(−4)2+23(−4)−11=16−83−11=5−83=73>0, nên bất đẳng thức cũng đúng.
Vậy bất đẳng thức a2+b2+c2≥3 đã được chứng minh