Ta có bất đẳng thức sau:
$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$
Cộng thêm $2(ab + bc + ca)$ vào cả hai vế:
$a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \geq ab + bc + ca + 2(ab + bc + ca)$
$(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)$

Theo đề bài, ta có:
$a + b + c + 3(ab + bc + ca) = 12$
$3(ab + bc + ca) = 12 - (a + b + c)$

Thay $3(ab + bc + ca)$ vào bất đẳng thức đã chứng minh ở trên, ta được:
$(a + b + c)^2 \geq 12 - (a + b + c)$
Đặt $t = a + b + c$, ta có bất phương trình:
$t^2 \geq 12 - t$
$t^2 + t - 12 \geq 0$
$(t - 3)(t + 4) \geq 0$

Trường hợp 1: $t - 3 \geq 0$ và $t + 4 \geq 0$
$t \geq 3$ và $t \geq -4$
Vậy $t \geq 3$

Trường hợp 2: $t - 3 \leq 0$ và $t + 4 \leq 0$
$t \leq 3$ và $t \leq -4$
Vậy $t \leq -4$

Do đó, $a + b + c \geq 3$ hoặc $a + b + c \leq -4$.

Ta lại có:
$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)$
Từ đề bài: $ab + bc + ca = \frac{12 - (a + b + c)}{3}$
Thay vào phương trình trên:
$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2\left(\frac{12 - (a + b + c)}{3}\right)$
$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - \frac{24 - 2(a + b + c)}{3}$
$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{3(a + b + c)^2 - 24 + 2(a + b + c)}{3}$

Đặt $t = a + b + c$, ta cần chứng minh:
$\frac{3t^2 + 2t - 24}{3} \geq 3$
$3t^2 + 2t - 24 \geq 9$
$3t^2 + 2t - 33 \geq 0$

Giải phương trình $3t^2 + 2t - 33 = 0$:
$\Delta' = 1^2 - 3(-33) = 1 + 99 = 100$
$\sqrt{\Delta'} = 10$
$t_1 = \frac{-1 - 10}{3} = -\frac{11}{3}$
$t_2 = \frac{-1 + 10}{3} = 3$
Do đó, $3t^2 + 2t - 33 \geq 0$ khi $t \leq -\frac{11}{3}$ hoặc $t \geq 3$.

Kết hợp với điều kiện ban đầu của $t$: $t \geq 3$ hoặc $t \leq -4$.
Nếu $t \geq 3$, điều kiện $t \geq 3$ thỏa mãn.
Nếu $t \leq -4$, điều kiện $t \leq -\frac{11}{3}$ thỏa mãn vì $-4 < -\frac{11}{3}$.

Vậy bất đẳng thức $3t^2 + 2t - 33 \geq 0$ luôn đúng.
Do đó, $a^2 + b^2 + c^2 \geq 3$.
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = 1$.
Thử lại: $1 + 1 + 1 + 3(1)(1) + 3(1)(1) + 3(1)(1) = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$. (Đúng)
$a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3$. (Đúng)

Ta có bất đẳng thức sau:
a2+b2+c2≥ab+bc+ca
Cộng thêm 2(ab+bc+ca) vào cả hai vế:
a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)
(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)

Theo đề bài, ta có:
a+b+c+3(ab+bc+ca)=12
3(ab+bc+ca)=12−(a+b+c)

Thay 3(ab+bc+ca) vào bất đẳng thức đã chứng minh ở trên, ta được:
(a+b+c)2≥12−(a+b+c)
Đặt t=a+b+c, ta có bất phương trình:
t2≥12−t
t2+t−12≥0
(t−3)(t+4)≥0

Trường hợp 1: t−3≥0 và t+4≥0
t≥3 và t≥−4
Vậy t≥3

Trường hợp 2: t−3≤0 và t+4≤0
t≤3 và t≤−4
Vậy t≤−4

Do đó, a+b+c≥3 hoặc a+b+c≤−4.

Ta lại có:
a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)
Từ đề bài: ab+bc+ca=12−(a+b+c)3
Thay vào phương trình trên:
a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(12−(a+b+c)3)
a2+b2+c2=(a+b+c)2−24−2(a+b+c)3
a2+b2+c2=3(a+b+c)2−24+2(a+b+c)3

Đặt t=a+b+c, ta cần chứng minh:
3t2+2t−243≥3
3t2+2t−24≥9
3t2+2t−33≥0

Giải phương trình 3t2+2t−33=0:
Δ′=12−3(−33)=1+99=100
√Δ′=10
t1=−1−103=−113
t2=−1+103=3
Do đó, 3t2+2t−33≥0 khi t≤−113 hoặc t≥3.

Kết hợp với điều kiện ban đầu của t: t≥3 hoặc t≤−4.
Nếu t≥3, điều kiện t≥3 thỏa mãn.
Nếu t≤−4, điều kiện t≤−113 thỏa mãn vì −4<−113.

Vậy bất đẳng thức 3t2+2t−33≥0 luôn đúng.
Do đó, a2+b2+c2≥3.
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1.
Thử lại: 1+1+1+3(1)(1)+3(1)(1)+3(1)(1)=3+3+3+3=12. (Đúng)
a2+b2+c2=12+12+12=3. (Đúng)