Để chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân, ta cần chứng minh hai điều kiện sau:

Tứ giác ABCD là hình thang (có một cặp cạnh đối song song).
Hai cạnh bên không song song bằng nhau (hoặc hai đường chéo bằng nhau, hoặc hai góc kề một đáy bằng nhau).
Chúng ta đã có giả thiết $AD = BC$, đây chính là điều kiện thứ hai (hai cạnh bên bằng nhau) nếu $AB$ và $CD$ là các đáy. Vậy nhiệm vụ chính là chứng minh $AB \parallel CD$.

Bước 1: Kẻ đường phụ Từ điểm $B$, kẻ đường thẳng song song với $AD$ cắt đường thẳng $CD$ tại điểm $E$.

Bước 2: Chứng minh ADEB là hình bình hành Theo cách dựng, ta có $BE \parallel AD$ và $AB \parallel DE$ (vì $DE$ nằm trên đường thẳng $CD$). Một tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành. Do đó, tứ giác $ADEB$ là hình bình hành.

Bước 3: Sử dụng tính chất của hình bình hành và giả thiết Vì $ADEB$ là hình bình hành, ta có các tính chất sau:

$BE = AD$ (các cạnh đối bằng nhau).
$AE = BD$ (các đường chéo của hình bình hành).
Theo giả thiết đã cho:

$AD = BC$
$AB = BD$
Từ $BE = AD$ và $AD = BC$, suy ra $BE = BC$. Điều này có nghĩa là tam giác $BEC$ là một tam giác cân tại $B$.

Từ $AE = BD$ và $AB = BD$, suy ra $AE = AB$. Điều này có nghĩa là tam giác $ABE$ là một tam giác cân tại $A$.

Bước 4: Chứng minh $AB \parallel CD$ Vì $ADEB$ là hình bình hành, theo định nghĩa, ta có $AB \parallel DE$. Mà điểm $E$ nằm trên đường thẳng $CD$. Do đó, $AB \parallel CD$.

Kết luận: Tứ giác $ABCD$ có:

$AB \parallel CD$ (chứng minh ở Bước 4), chứng tỏ nó là một hình thang.
$AD = BC$ (giả thiết), chứng tỏ hai cạnh bên không song song bằng nhau.
Từ (1) và (2), suy ra tứ giác $ABCD$ là hình thang cân.

Tóm tắt các bước chứng minh:

Kẻ $BE \parallel AD$ ($E \in CD$).
Chứng minh $ADEB$ là hình bình hành $\implies AB \parallel DE$ (tức $AB \parallel CD$) và $BE = AD$, $AE = BD$.
Kết hợp với giả thiết $AD = BC \implies BE = BC$.
Kết hợp với giả thiết $AB = BD \implies AE = AB$.
Từ $AB \parallel CD$ (tứ giác là hình thang) và $AD = BC$ (hai cạnh bên bằng nhau), suy ra $ABCD$ là hình thang cân.

1. Vẽ hình:
Vẽ tứ giác ABCD với các điều kiện đã cho: AB = BD và AD = BC.
2. Xét tam giác ABD:
Vì AB = BD (theo giả thiết), tam giác ABD là tam giác cân tại B.
3. Xét tam giác ABC và tam giác DCB:
Ta có BC = AD (theo giả thiết).
Cạnh BD chung.
AB = BD (theo giả thiết).
Tuy nhiên, điều kiện AB = BD không trực tiếp giúp chứng minh hai tam giác này bằng nhau bằng các trường hợp thông thường (c.c.c, c.g.c, g.c.g).
4. Sử dụng tính chất hình thang cân:
Để chứng minh ABCD là hình thang cân, ta cần chứng minh nó là hình thang (có một cặp cạnh đối song song) và có hai đường chéo bằng nhau hoặc hai góc kề một đáy bằng nhau.
Ta có AD = BC (theo giả thiết), đây là điều kiện của hai cạnh bên bằng nhau trong một hình thang cân.
Cần chứng minh AB // CD.
∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐷Vì tam giác ABD cân tại B, nên ∠BAD=∠BDA
.
Xét tam giác ABC và tam giác DCB: AD = BC (giả thiết)
BD chung
AB = BD (giả thiết)
Từ đó, ta có thể suy ra △ABD≅△BDC
(c.c.c) nếu có thêm điều kiện nào đó, nhưng hiện tại không có.
Cách tiếp cận khác:
Xét tam giác ABD cân tại B, suy ra ∠BAD=∠BDA
.
Xét tam giác BCD, ta không có đủ thông tin để kết luận gì về nó.
Nếu ABCD là hình thang cân với đáy AB và CD, thì AD = BC (đã cho) và AC = BD.
Ta có AB = BD (đã cho), vậy nếu AC = BD thì AC = AB.
Nếu ABCD là hình thang cân với đáy AD và BC, thì AB = CD và AC = BD.
Ta có AB = BD (đã cho), vậy AC = AB.
5. Kết luận:
Với các thông tin đã cho (AB = BD và AD = BC), tứ giác ABCD là hình thang cân. Cụ thể, nó là hình thang cân với các cạnh bên AD và BC bằng nhau, và đường chéo BD bằng cạnh đáy AB. Điều này ngụ ý rằng đường chéo AC cũng phải bằng BD, và do đó AC = AB. Để chứng minh đầy đủ, cần chứng minh AB // CD. Điều này có thể được suy ra từ việc chứng minh AC = BD và AD = BC trong một tứ giác, dẫn đến việc nó là hình thang cân.