Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh BIPC là hình thang cân

Để chứng minh BIPC là hình thang cân, ta sẽ chứng minh nó có một cặp cạnh song song và hai đường chéo bằng nhau hoặc hai cạnh bên không song song bằng nhau.

Bước 1: Chứng minh HBCP là hình bình hành. Theo đề bài, M là trung điểm của BC và P là điểm đối xứng của H qua M.

M là trung điểm của BC.
M là trung điểm của HP (do P đối xứng với H qua M). Một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành. Do đó, tứ giác HBCP là hình bình hành. Vì HBCP là hình bình hành, ta suy ra BP=HC (1) và BP//HC.
Bước 2: Chứng minh IC = HC. Theo đề bài, I là điểm đối xứng của H qua D, và AD là đường cao của △ABC.

D là trung điểm của HI (do I đối xứng với H qua D).
AD⊥BC tại D. Từ hai điều trên, ta có BC là đường trung trực của đoạn thẳng HI. Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Do đó, IC=HC (2).
Bước 3: Chứng minh BIPC là hình thang. Trong △HIP, ta có:

D là trung điểm của HI.
M là trung điểm của HP. Do đó, DM là đường trung bình của △HIP. Suy ra DM//IP. Vì D và M cùng nằm trên đường thẳng BC, nên đường thẳng DM chính là đường thẳng BC. Vậy, ta có BC//IP. Tứ giác BIPC có một cặp cạnh đối song song là BC và IP, nên BIPC là hình thang.
Bước 4: Kết luận. Từ (1) và (2), ta có BP=IC. Hình thang BIPC có hai cạnh bên không song song BP và IC bằng nhau nên BIPC là hình thang cân.

b) Chứng minh B, G, N thẳng hàng

Bước 1: Xác định vị trí của G. Theo đề bài, AD, BE, CF là các đường cao của △ABC, cắt nhau tại H (trực tâm). Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC. Khi đó, đường thẳng đi qua trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O được gọi là đường thẳng Euler.

AM là đường trung tuyến của △ABC (vì M là trung điểm của BC).

G là giao điểm của đường thẳng OH (đường thẳng Euler) và đường trung tuyến AM. Trong một tam giác, trọng tâm là điểm giao của ba đường trung tuyến. Trọng tâm cũng nằm trên đường thẳng Euler. Vì G nằm trên đường trung tuyến AM và nằm trên đường thẳng Euler OH, nên G chính là trọng tâm của △ABC.
Bước 2: Kết luận. N là trung điểm của AC nên BN là đường trung tuyến của △ABC. Vì G là trọng tâm của △ABC, nên G phải nằm trên tất cả các đường trung tuyến của tam giác, bao gồm cả đường trung tuyến BN. Do đó, ba điểm B, G, N phải thẳng hàng.

...Xem thêm

Answer 2

a) Chứng minh BIPC là hình thang cân

Để chứng minh BIPC là hình thang cân, ta sẽ chứng minh nó có một cặp cạnh song song và hai đường chéo bằng nhau hoặc hai cạnh bên không song song bằng nhau.

Bước 1: Chứng minh HBCP là hình bình hành. Theo đề bài, M là trung điểm của BC và P là điểm đối xứng của H qua M.

M là trung điểm của BC.
M là trung điểm của HP (do P đối xứng với H qua M). Một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành. Do đó, tứ giác HBCP là hình bình hành. Vì HBCP là hình bình hành, ta suy ra BP=HC (1) và BP//HC.
Bước 2: Chứng minh IC = HC. Theo đề bài, I là điểm đối xứng của H qua D, và AD là đường cao của △ABC.

D là trung điểm của HI (do I đối xứng với H qua D).
AD⊥BC tại D. Từ hai điều trên, ta có BC là đường trung trực của đoạn thẳng HI. Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Do đó, IC=HC (2).
Bước 3: Chứng minh BIPC là hình thang. Trong △HIP, ta có:

D là trung điểm của HI.
M là trung điểm của HP. Do đó, DM là đường trung bình của △HIP. Suy ra DM//IP. Vì D và M cùng nằm trên đường thẳng BC, nên đường thẳng DM chính là đường thẳng BC. Vậy, ta có BC//IP. Tứ giác BIPC có một cặp cạnh đối song song là BC và IP, nên BIPC là hình thang.
Bước 4: Kết luận. Từ (1) và (2), ta có BP=IC. Hình thang BIPC có hai cạnh bên không song song BP và IC bằng nhau nên BIPC là hình thang cân.

b) Chứng minh B, G, N thẳng hàng

Bước 1: Xác định vị trí của G. Theo đề bài, AD, BE, CF là các đường cao của △ABC, cắt nhau tại H (trực tâm). Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC. Khi đó, đường thẳng đi qua trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O được gọi là đường thẳng Euler.

AM là đường trung tuyến của △ABC (vì M là trung điểm của BC).

G là giao điểm của đường thẳng OH (đường thẳng Euler) và đường trung tuyến AM. Trong một tam giác, trọng tâm là điểm giao của ba đường trung tuyến. Trọng tâm cũng nằm trên đường thẳng Euler. Vì G nằm trên đường trung tuyến AM và nằm trên đường thẳng Euler OH, nên G chính là trọng tâm của △ABC.
Bước 2: Kết luận. N là trung điểm của AC nên BN là đường trung tuyến của △ABC. Vì G là trọng tâm của △ABC, nên G phải nằm trên tất cả các đường trung tuyến của tam giác, bao gồm cả đường trung tuyến BN. Do đó, ba điểm B, G, N phải thẳng hàng.

Answer 3

Giải:
a) Chứng minh BIPC là hình thang cân:
Chứng minh BIPC là hình thang:Vì I là điểm đối xứng của H qua D, nên D là trung điểm của HI.
Vì AD là đường cao, nên AD vuông góc với BC.
Trong tam giác HIC, D là trung điểm của HI và D nằm trên BC, suy ra BD là đường trung bình, do đó BD // IC.
Tương tự, vì P là điểm đối xứng của H qua M, nên M là trung điểm của HP.
Vì M là trung điểm của BC, nên M cũng là trung điểm của HP.
Trong tam giác HBP, M là trung điểm của HP và M cũng nằm trên BC, suy ra BM // PC.
Từ đó, ta có BI // PC và BP // IC, suy ra BIPC là hình bình hành.
Vì I và P đối xứng nhau qua M nên MI = MP.
Trong tam giác HIC, D là trung điểm của HI, nên HD = DI.
Trong tam giác HBP, M là trung điểm của HP, nên HM = MP.
Do đó, HD = DI = MP = HM.
Vậy, BIPC là hình thang có hai đường chéo bằng nhau, suy ra BIPC là hình thang cân.
Kết luận: BIPC là hình thang cân.
b) Chứng minh B, G, N thẳng hàng:
Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC:Vì P đối xứng với H qua M, nên M là trung điểm của HP.
Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
Trong tam giác HBC, M là trung điểm của BC, nên HM = MP.
Do đó, BPHC là hình bình hành.
Trong hình bình hành BPHC, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên HP và BC cắt nhau tại M.
Vì P là điểm đối xứng của H qua M, nên HM = MP.
Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
Trong tam giác HPC, M là trung điểm của HP và M cũng là trung điểm của BC.
Vì O là điểm trên AB sao cho OP = OC, nên O là trung điểm của BC.
Do đó, O là trung điểm của BC.
Vì G là giao điểm của OH và AM, nên G là trọng tâm của tam giác ABC

...Xem thêm

Answer 4

Giải:
a) Chứng minh BIPC là hình thang cân:
Chứng minh BIPC là hình thang:Vì I là điểm đối xứng của H qua D, nên D là trung điểm của HI.
Vì AD là đường cao, nên AD vuông góc với BC.
Trong tam giác HIC, D là trung điểm của HI và D nằm trên BC, suy ra BD là đường trung bình, do đó BD // IC.
Tương tự, vì P là điểm đối xứng của H qua M, nên M là trung điểm của HP.
Vì M là trung điểm của BC, nên M cũng là trung điểm của HP.
Trong tam giác HBP, M là trung điểm của HP và M cũng nằm trên BC, suy ra BM // PC.
Từ đó, ta có BI // PC và BP // IC, suy ra BIPC là hình bình hành.
Vì I và P đối xứng nhau qua M nên MI = MP.
Trong tam giác HIC, D là trung điểm của HI, nên HD = DI.
Trong tam giác HBP, M là trung điểm của HP, nên HM = MP.
Do đó, HD = DI = MP = HM.
Vậy, BIPC là hình thang có hai đường chéo bằng nhau, suy ra BIPC là hình thang cân.
Kết luận: BIPC là hình thang cân.
b) Chứng minh B, G, N thẳng hàng:
Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC:Vì P đối xứng với H qua M, nên M là trung điểm của HP.
Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
Trong tam giác HBC, M là trung điểm của BC, nên HM = MP.
Do đó, BPHC là hình bình hành.
Trong hình bình hành BPHC, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên HP và BC cắt nhau tại M.
Vì P là điểm đối xứng của H qua M, nên HM = MP.
Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
Trong tam giác HPC, M là trung điểm của HP và M cũng là trung điểm của BC.
Vì O là điểm trên AB sao cho OP = OC, nên O là trung điểm của BC.
Do đó, O là trung điểm của BC.
Vì G là giao điểm của OH và AM, nên G là trọng tâm của tam giác ABC

2 câu trả lời 424

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8