a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác ADE

Ta có Ax⊥AB nên ∠CAD=90∘. Vì AH⊥CD, nên △AHC là tam giác vuông tại H.

Trong △ADC vuông tại A, ta có: ∠ACD+∠ADC=90∘.
Trong △AHC vuông tại H, ta có: ∠HAC+∠HCA=90∘. Vì ∠ACD và ∠HCA là cùng một góc, nên ta suy ra ∠ADC=∠HAC.
Mặt khác, ta có ∠ADE và ∠ADC là cùng một góc (cùng là góc ∠CDA). Và ∠HAB và ∠HAC cũng là cùng một góc. Từ đó suy ra ∠ADE=∠HAB.

Xét hai tam giác △ADE và △AHB, ta có:

∠DAE=∠HAB (góc chung, vì E,H,F,A thẳng hàng).
∠ADE=∠HAB (chứng minh trên).
Vậy △ADE đồng dạng với △AHB theo trường hợp góc-góc (g.g).

b) Chứng minh DE vuông góc với BC

Để chứng minh DE⊥BC, ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ. Chọn hệ trục tọa độ sao cho A≡(0,0) và B≡(a,0) với a>0. Khi đó:

D là trung điểm của AB⟹D≡(2a​,0).
C nằm trên tia Ax (trục Oy), nên C≡(0,c) với c>0.
Phương trình đường thẳng CD đi qua hai điểm C(0,c) và D(2a​,0) là: 2a​x​+cy​=1⟺2cx+ay=ac. Đường thẳng AH vuông góc với CD và đi qua gốc tọa độ A(0,0), nên phương trình của nó là: ax−2cy=0.

Điểm E là giao điểm của đường thẳng AH và tia By. Tia By là đường thẳng x=a. Thay x=a vào phương trình đường thẳng AH, ta được: a⋅a−2cyE​=0⟹a2=2cyE​⟹yE​=2ca2​. Vậy tọa độ của điểm E là E≡(a,2ca2​).

Ta có tọa độ của các vector DE và BC là:

DE =(xE​−xD​,yE​−yD​)=(a−2a​,2ca2​−0)=(2a​,2ca2​).
BC =(xC​−xB​,yC​−yB​)=(0−a,c−0)=(−a,c).
Tích vô hướng của hai vector DE và BC là: DE ⋅BC =(2a​)⋅(−a)+(2ca2​)⋅c=−2a2​+2a2​=0. Vì tích vô hướng của hai vector bằng 0, nên DE ⊥BC , hay DE⊥BC.

c) Xác định vị trí của C trên tia Ax sao cho CF=2FB

Ta tiếp tục sử dụng phương pháp tọa độ. Điểm F là giao điểm của đường thẳng AH và BC. Phương trình đường thẳng AH: ax−2cy=0. Phương trình đường thẳng BC: cx+ay=ac.

Từ phương trình đường thẳng AH, ta có ax=2cy⟹x=a2cy​. Thay vào phương trình đường thẳng BC: c(a2cy​)+ay=ac a2c2y​+ay=ac 2c2y+a2y=a2c y(2c2+a2)=a2c⟹yF​=2c2+a2a2c​. xF​=a2c​yF​=a2c​⋅2c2+a2a2c​=2c2+a22ac2​. Vậy tọa độ của F là F≡(2c2+a22ac2​,2c2+a2a2c​).

Ta có C≡(0,c) và B≡(a,0). Theo điều kiện CF=2FB, ta suy ra vector CF =2FB (vì F nằm giữa C và B). Từ đó ta có hệ phương trình:

xF​−xC​=2(xB​−xF​)⟹xF​−0=2(a−xF​)⟹xF​=2a−2xF​⟹3xF​=2a⟹xF​=32a​.
yF​−yC​=2(yB​−yF​)⟹yF​−c=2(0−yF​)⟹yF​−c=−2yF​⟹3yF​=c⟹yF​=3c​.
Bây giờ ta đồng nhất tọa độ của F vừa tìm được với tọa độ F theo a,c:

xF​=2c2+a22ac2​=32a​⟹3c2=2c2+a2⟹c2=a2.
yF​=2c2+a2a2c​=3c​⟹3a2=2c2+a2⟹2a2=2c2⟹c2=a2.
Cả hai phương trình đều cho ra kết quả c2=a2. Vì c và a là độ dài nên c>0,a>0. Suy ra c=a. Vì AC=c và AB=a, nên vị trí của điểm C trên tia Ax là AC=AB.