a) Chứng minh △AHB∼△ADE

Đầu tiên, chúng ta có các dữ kiện sau:

Ax⊥AB và By⊥AB.
D là trung điểm của AB.
AH⊥CD.
Vì Ax⊥AB nên ∠XAB=90∘. Tương tự, By⊥AB nên ∠YBA=90∘. Vì AH⊥CD nên ∠AHC=90∘.

Xét hai tam giác vuông △ADC và △AHB. ∠CAD=∠HAB=90∘−∠HCA DA=DB ∠CDA=∠DAB AD=AB/2

Xét hai tam giác △ADC và △HAB. ∠AHC=∠ADB=90∘ ∠HAC=90∘−∠HCA ∠BDA=90∘−∠BDA ∠DAC+∠ACD=90∘ ∠HAB+∠ABH=90∘ Trong △AHC, ∠HAC=90∘−∠ACD. Trong △ADC, ∠ACD=90∘−∠ADC. ∠HAC=∠ADC. Xét △ADH và △ACB: ∠HAD=∠ACB ∠ADH=∠ABC

Quay lại với bài toán ban đầu, ta cần chứng minh △AHB∼△ADE. Xét △ACD và △ABH:

∠CAD=∠HAB (góc chung)
∠ACD=90∘−∠ADC
∠ABH=90∘−∠DAB
Ta có ∠DAC=90∘, ∠ABY=90∘. Ax//By vì cùng vuông góc với AB. Xét △ACD vuông tại A và △AHB vuông tại H. Ta có ∠CAD=90∘. Ta có ∠AHB=90∘. ∠ACD=∠HAB.

Vì AH⊥CD, nên ∠AHD=90∘. Xét △ADC và △HDA có: ∠CAD=∠AHD=90∘ ∠CDA là góc chung ⟹△ADC∼△HDA (g.g) ⟹HDAD​=HAAC​⟹AD⋅HA=HD⋅AC

Quay trở lại △AHB∼△ADE. Ta có ∠AHB=90∘ và ∠DAE=90∘. Xét △AHB và △ADE:

∠HAB=∠ADE.
∠AHB=∠DAE=90∘.
⟹△AHB∼△DEA.
Vì AH⊥CD, nên ∠CAH+∠ACD=90∘. Vì Ax⊥AB, nên ∠BAC=90∘. Xét △CAD, ∠ACD+∠CDA=90∘. Suy ra ∠CAH=∠CDA. Xét △ADE và △AHB:

∠EAD=90∘ (góc vuông tại A)
∠AHB=90∘ (góc vuông tại H)
∠ADE=∠CAH.
Ta đã chứng minh được ∠CAH=∠CDA. Do đó △AHB∼△ADE (g.g).

b) Chứng minh DE⊥BC

Từ câu a), △AHB∼△ADE nên ta có: ADAH​=AEAB​ AH⋅AE=AB⋅AD Mà AD=2AB​, nên AH⋅AE=AB⋅2AB​=2AB2​.

Ta có Ax//By. Xét △ACD và △BCD. AC=BE AD=DB ∠CAD=∠CBE △ADC∼△CDB ∠ACD=∠DBC

Ta có ∠DAE=90∘. Từ AH⊥CD, ta có ∠HAD=90∘−∠HDA. Trong △ADE, ∠ADE=90∘−∠DEA. Trong △AHB, ∠ABH=90∘−∠AHB=90∘. ∠HAD=∠CDE. Trong △ADE, ∠ADE=∠AHC.

Từ △AHB∼△ADE (đã chứng minh ở câu a), ta suy ra ∠ABH=∠AED. Ta lại có ∠ABH+∠ABC=180∘ ∠ADE=∠ABH ∠AED=∠ABH ∠ABC+∠EBC=90∘ ∠ADE=∠ABC

Xét tứ giác ACBE. AC//BE vì cùng vuông góc với AB. AB⊥BC ∠EBC=90∘ ∠BAC=90∘ ACBE là hình thang vuông.

Ta có DE⊥BC. D là trung điểm AB. E là giao điểm của AH và By. Ta có AH⊥CD.

Xét △ADC và △AEB. Ta có ∠CAD=90∘, ∠BAE=90∘ ACAD​=AEAB​ AD⋅AE=AC⋅AB AD=2AB​ ABAD​=AEAC​⟹ABAB/2​=AEAC​⟹21​=AEAC​⟹AE=2AC.

Ta có DE⊥BC. Ta cần chứng minh DE ⋅BC =0. DE =DA +AE BC =BA +AC DE ⋅BC =(DA +AE )⋅(BA +AC ) =DA ⋅BA +DA ⋅AC +AE ⋅BA +AE ⋅AC =DA⋅BA⋅cos(180∘)+0+AE⋅BA⋅cos(90∘)+AE⋅AC⋅cos(90∘)=0

Vì DA⊥AC, AE⊥BA, AE⊥AC. DA ⋅AC =0. AE ⋅BA =0. AE ⋅AC =0. Kết quả của phép tích vô hướng là: DE ⋅BC =DA⋅BA⋅(−1)=−AD⋅AB=−2AB​⋅AB=−2AB2​. Không ra bằng 0.

Cách khác: Gọi O là giao điểm của AH và CD. ∠AOD=∠CHO=90∘ Xét △AHD và △BCD. ∠HAD=∠BCD ∠ADH=∠CDB AH⊥CD, BC⊥AB. Ta có △ABF∼△ECF ECAB​=FCBF​

Xét △ADC và △BCD. AD=DB. ∠CAD=∠CBD △ADC∼△BCD Ta có ∠ACD=∠DBC ∠DCA=∠CDB Từ △ADC vuông tại A, tan(∠ACD)=ACAD​. Từ △BCD vuông tại B, tan(∠CDB)=DBCB​. Không đúng.

Vì Ax⊥AB, By⊥AB nên Ax//By. Từ D kẻ đường thẳng song song với Ax và By cắt AE tại M. DM//AC. Trong △ABC, D là trung điểm của AB, DM//AC thì M là trung điểm của BC. Suy ra DM⊥BC. DM=21​AC.

Ta có DE⊥BC. Xét tứ giác AHCB. ∠HAB=∠HBC ∠AHB=∠ACB AH⊥CD. Ta có DE⊥BC khi và chỉ khi DE ⋅BC =0. BC =(xC​−xB​,yC​−yB​) DE =(xE​−xD​,yE​−yD​) Sử dụng phương pháp tọa độ: A=(0,0),B=(a,0). D=(2a​,0). C=(0,c). CD có phương trình: a/2x​+cy​=1⟺2cx+ay=ac. AH vuông góc CD và đi qua A=(0,0), có phương trình: ax−2cy=0. BC có phương trình: ax​+cy​=1⟺cx+ay=ac. E là giao điểm của AH và By (x=a). Thế x=a vào ax−2cy=0⟹a2−2cy=0⟹y=2ca2​. Vậy E=(a,2ca2​). DE =(a−2a​,2ca2​−0)=(2a​,2ca2​). BC =(a−0,0−c)=(a,−c). DE ⋅BC =(2a​)(a)+(2ca2​)(−c)=2a2​−2a2​=0. Do đó DE ⊥BC , hay DE⊥BC.

c) Xác định vị trí của C trên tia Ax sao cho CF=2FB

Ta có F là giao điểm của AH và BC. Ta có A=(0,0),B=(a,0),C=(0,c). BC có phương trình: cx+ay=ac. AH có phương trình: ax−2cy=0. F là nghiệm của hệ phương trình: cx+ay=ac ax−2cy=0 Từ phương trình thứ hai, x=a2cy​. Thế vào phương trình thứ nhất: c(a2cy​)+ay=ac a2c2y​+ay=ac 2c2y+a2y=a2c y(2c2+a2)=a2c⟹yF​=2c2+a2a2c​. xF​=a2c​⋅2c2+a2a2c​=2c2+a22ac2​. F=(2c2+a22ac2​,2c2+a2a2c​).

Ta có CF=2FB. C=(0,c),F=(xF​,yF​),B=(a,0). ∣CF ∣=2∣FB ∣ CF =(xF​−0,yF​−c)=(2c2+a22ac2​,2c2+a2a2c​−c)=(2c2+a22ac2​,2c2+a2a2c−c(2c2+a2)​)=(2c2+a22ac2​,2c2+a2a2c−2c3−a2c​)=(2c2+a22ac2​,2c2+a2−2c3​). FB =(a−xF​,0−yF​)=(a−2c2+a22ac2​,−2c2+a2a2c​)=(2c2+a2a(2c2+a2)−2ac2​,−2c2+a2a2c​)=(2c2+a22ac2+a3−2ac2​,−2c2+a2a2c​)=(2c2+a2a3​,−2c2+a2a2c​).

Vì CF và FB cùng phương, nên ta có CF =2FB (tỷ lệ 2) hoặc CF =−2FB (tỷ lệ -2). F nằm giữa C và B. CF và FB cùng chiều. CB =CF +FB =3FB CF =2FB . xB​−xF​xF​−xC​​=2 a−xF​xF​​=2⟹xF​=2a−2xF​⟹3xF​=2a⟹xF​=32a​. yB​−yF​yF​−yC​​=2 −yF​yF​−c​=2⟹yF​−c=−2yF​⟹3yF​=c⟹yF​=3c​.

Ta có: xF​=2c2+a22ac2​=32a​⟹6ac2=2a(2c2+a2)⟹3c2=2c2+a2⟹c2=a2. yF​=2c2+a2a2c​=3c​⟹3a2c=c(2c2+a2)⟹3a2=2c2+a2⟹2a2=2c2⟹a2=c2. Vì c là độ dài, c>0. a là độ dài đoạn AB, a>0. Suy ra c=a. C nằm trên tia Ax, nên vị trí của C được xác định bởi độ dài AC=c. AC=c=a=AB. Vậy vị trí của điểm C trên tia Ax là AC=AB.Phân tích và giải bài toán hình học