Phân tích bài toán

Đã cho: Hình bình hành ABCD, M thuộc AB, N thuộc BC, AN = CM.
Cần chứng minh: OD là tia phân giác của góc AOC .
Để chứng minh OD là tia phân giác của AOC , ta cần chứng minh khoảng cách từ điểm D đến hai đường thẳng AN và CM là bằng nhau.

Hướng giải quyết

Chúng ta sẽ chứng minh hai tam giác △AND và △DCM có diện tích bằng nhau. Từ đó, kết hợp với giả thiết AN = CM, ta sẽ suy ra khoảng cách từ D đến AN và CM là bằng nhau.

Lời giải chi tiết 

Bước 1: Chứng minh hai tam giác có diện tích bằng nhau

Ta có diện tích hình bình hành ABCD là SABCD​.
Gọi h1​ là chiều cao của hình bình hành ABCD kẻ từ đỉnh A đến cạnh CD.
Gọi h2​ là chiều cao của hình bình hành ABCD kẻ từ đỉnh D đến cạnh AB.
Ta có SABCD​=AB⋅h2​=CD⋅h2​.
Ta có SABCD​=AD⋅h1​=BC⋅h1​.
Vì ABCD là hình bình hành nên AB=CD và AD=BC.
Xét tam giác △DCM:

Tam giác này có đáy là CD.
Chiều cao tương ứng với đáy CD là khoảng cách từ đỉnh M đến đường thẳng chứa cạnh CD.
Vì M nằm trên AB và AB song song với CD, nên khoảng cách từ M đến CD chính là chiều cao h2​ của hình bình hành.
Do đó, S△DCM​=21​⋅CD⋅h2​=21​SABCD​.
Xét tam giác △AND:

Tam giác này có đáy là AD.
Chiều cao tương ứng với đáy AD là khoảng cách từ đỉnh N đến đường thẳng chứa cạnh AD.
Vì N nằm trên BC và AD song song với BC, nên khoảng cách từ N đến AD chính là chiều cao h1​ của hình bình hành.
Do đó, S△AND​=21​⋅AD⋅h1​=21​SABCD​.
Từ hai kết quả trên, ta suy ra:

S△DCM​=S△AND​
Bước 2: Chứng minh OD là tia phân giác của góc AOC

Gọi d1​ là khoảng cách từ D đến đường thẳng AN.
Ta có S△AND​=21​⋅AN⋅d1​.
Suy ra d1​=AN2⋅S△AND​​.
Gọi d2​ là khoảng cách từ D đến đường thẳng CM.
Ta có S△DCM​=21​⋅CM⋅d2​.
Suy ra d2​=CM2⋅S△DCM​​.
Theo giả thiết, ta có AN=CM. Từ Bước 1, ta đã chứng minh được S△AND​=S△DCM​. Do đó, ta có:

d1​=d2​
Điều này có nghĩa là điểm D cách đều hai đường thẳng AN và CM.

Vì O là giao điểm của AN và CM, nên hai đường thẳng này cắt nhau tại O. Theo tính chất của tia phân giác, tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc chính là tia phân giác của góc đó. Do D cách đều hai đường thẳng AN (chứa cạnh AO) và CM (chứa cạnh CO), nên D phải nằm trên tia phân giác của góc AOC .

Vậy, đường thẳng OD chính là tia phân giác của góc AOC (Điều phải chứng minh).