Để chứng minh AD = EF và AE = EC, chúng ta sẽ sử dụng định lý Talet và các tính chất của hình bình hành.

Chứng minh AE = EC:

Theo giả thiết, đường thẳng qua D song song với BC cắt AC tại E.
Vì D là trung điểm của AB, nên AD = DB.
Áp dụng định lý Talet trong tam giác ABC với DE // BC, ta có:

DBAD​=ECAE​
Vì AD = DB, nên DBAD​=1.
Do đó, ECAE​=1⟹AE=EC.

Vậy E là trung điểm của AC.
Chứng minh AD = EF:

Để chứng minh điều này, ta sẽ xét tứ giác DBEF.

Ta có DE // BC (theo giả thiết).
Ta có EF // AB (theo giả thiết).
Vì DE // BC và EF // AB, nên tứ giác DBEF là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối song song).
Trong hình bình hành, các cặp cạnh đối bằng nhau.
Do đó, DB = EF.
Theo giả thiết, D là trung điểm của AB, nên AD = DB.
Từ DB = EF và AD = DB, ta suy ra AD = EF.
Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh được:

AE = EC (E là trung điểm của AC).
AD = EF.

-Khi chứng minh AD = EF và AE = EC, bạn phải sử dụng định lý Talet và các tính chất của hình bình hành nhé.

+Chứng minh AE = EC:

Theo giả thiết, đường thẳng qua D song song với BC cắt AC tại E.
Vì D là trung điểm của AB, nên AD = DB.
Áp dụng định lý Talet trong tam giác ABC với DE // BC, ta có:

DBAD​=ECAE​
Vì AD = DB, nên DBAD​=1.
Do đó, ECAE​=1⟹AE=EC.

->Vậy E là trung điểm của AC.
+Chứng minh AD = EF:

Để chứng minh điều này, ta sẽ xét tứ giác DBEF.

Ta có DE // BC (theo giả thiết).
Ta có EF // AB (theo giả thiết).
Vì DE // BC và EF // AB, nên tứ giác DBEF là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối song song).
Trong hình bình hành, các cặp cạnh đối bằng nhau.
->Do đó, DB = EF.
Theo giả thiết, D là trung điểm của AB, nên AD = DB.
Từ DB = EF và AD = DB, ta suy ra AD = EF.
->>>Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh được:

AE = EC (E là trung điểm của AC).
AD = EF