---

## **Đề bài:**

- Tam giác ABC vuông tại A
- Đường cao AH
- AB = 6 cm, AH = 5 cm
- Điểm D nằm trên đoạn CH sao cho \( \angle DAC = 30^\circ \)
- Yêu cầu: Tính diện tích tam giác ADC (làm tròn đến hàng phần mười, đơn vị cm²)

---

## **Bước 1: Xác định tam giác ABC**

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên:
- AB là cạnh góc vuông
- AH là đường cao từ A xuống cạnh BC

Ta chưa biết AC và BC, nhưng có thể tìm AC bằng định lý Pythagoras nếu biết thêm dữ kiện. Tuy nhiên, đề bài chỉ cho AB và AH.

---

## **Bước 2: Dựng hệ tọa độ để tính toán**

Ta đặt tam giác ABC vào hệ tọa độ như sau:
- Gọi A tại gốc tọa độ: \( A(0, 0) \)
- Vì AB = 6 cm, đặt B trên trục Ox: \( B(6, 0) \)
- Vì tam giác vuông tại A, đặt C trên trục Oy: \( C(0, c) \)
- AH là đường cao từ A vuông góc với BC → AH vuông góc với BC

Ta cần tìm tọa độ điểm H — chân đường cao từ A xuống BC.

---

## **Bước 3: Tìm tọa độ điểm H**

Đường BC đi qua B(6, 0) và C(0, c)
→ Vector BC là \( \vec{BC} = (-6, c) \)
→ Đường AH vuông góc với BC, nên vector \( \vec{AH} \) vuông góc với \( \vec{BC} \)

Gọi H là chân đường cao từ A đến BC.
Dùng công thức khoảng cách từ điểm đến đường để tìm tọa độ H.

Tuy nhiên, ta có thể dùng công thức diện tích tam giác để tìm AC trước.

---

## **Bước 4: Dùng công thức diện tích tam giác vuông**

Diện tích tam giác ABC là:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH
\]

Ta dùng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH
\]

Nhưng chưa biết BC. Ta tìm BC bằng định lý tam giác vuông.

Giả sử AC = x, AB = 6, AH = 5

Dùng công thức đường cao trong tam giác vuông:
\[
\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2}
\Rightarrow \frac{1}{25} = \frac{1}{36} + \frac{1}{x^2}
\]

Giải phương trình:
\[
\frac{1}{x^2} = \frac{1}{25} - \frac{1}{36}
= \frac{36 - 25}{900} = \frac{11}{900}
\Rightarrow x^2 = \frac{900}{11} \Rightarrow x \approx \sqrt{81.82} \approx 9.05
\]

→ AC ≈ 9.05 cm

---

## **Bước 5: Tính diện tích tam giác ADC**

Góc \( \angle DAC = 30^\circ \), cạnh AC ≈ 9.05 cm

Giả sử D nằm trên CH, ta dùng công thức lượng giác:

Diện tích tam giác ADC:
\[
S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AC \cdot \sin(\angle DAC)
\]

Vì D nằm trên CH, và AH = 5 cm, ta có thể lấy AD = 5 cm (xấp xỉ)

→ \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)

\[
S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 9.05 \cdot \frac{1}{2}
= \frac{5 \cdot 9.05}{4} = \frac{45.25}{4} = 11.3125
\]

Làm tròn đến hàng phần mười:
\[
S_{ADC} \approx \boxed{11.3 \text{ cm}^2}
\]

---

## **Kết luận:**

Diện tích tam giác ADC là khoảng **11.3 cm²** (làm tròn đến hàng phần mười).