Bài 1:

Đề bài: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh: BE // DF và ABE = CDF.

a) Chứng minh BE // DF

Bước 1: Chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành.

ABCD là hình bình hành, nên AD // BC và AD = BC.
E là trung điểm của AD, nên AE = ED = 1/2 AD.
F là trung điểm của BC, nên BF = FC = 1/2​ BC.
Vì AD = BC, suy ra ED = BF.
Mà AD // BC, nên ED // BF.
Tứ giác EBFD có cặp cạnh đối ED và BF song song và bằng nhau (ED // BF và ED = BF).
Vậy, EBFD là hình bình hành.
Bước 2: Từ đó suy ra BE // DF.

Vì EBFD là hình bình hành, nên các cặp cạnh đối của nó song song.
Do đó, BE // DF (đpcm).
b) Chứng minh ABE = CDF (Ở đây ý bạn có lẽ là △ABE=△CDF, vì "ABE" và "CDF" thường chỉ góc hoặc tên hình, không thể so sánh bằng nhau trực tiếp như vậy trong ngữ cảnh này. Nếu là so sánh diện tích, thì cần kí hiệu rõ ràng SABE​=SCDF​. Tôi sẽ chứng minh hai tam giác bằng nhau).

Xét △ABE và △CDF có:

AB = CD (hai cạnh đối của hình bình hành ABCD).
AE = CF (vì E là trung điểm AD và F là trung điểm BC, mà AD = BC nên 21​AD=21​BC⇒AE=CF).
DAB =BCD (hai góc đối của hình bình hành ABCD).
Sai ở đây: DAB không phải là góc xen giữa hai cạnh AB và AE. Góc xen giữa là BAE .
Ta có A =C (Góc A và góc C là góc của hình bình hành ABCD, mà DAB chính là A và BCD chính là C ).
Sửa lại chứng minh:

AB = CD (cạnh đối của hình bình hành ABCD).
AE = CF (E là trung điểm AD, F là trung điểm BC, mà AD = BC).
BAE =DCF (Hai góc này là góc A và góc C của hình bình hành. Trong hình bình hành, các góc đối bằng nhau).
Vậy, △ABE=△CDF (c.g.c).

Bài 2: 

Đề bài: Cho hình bình hành ABCD có AB > BC. Tia phân giác của góc ADC cắt cạnh AB ở E, tia phân giác của góc ABC cắt cạnh CD ở F. Chứng minh DE // BF và DF = BF.

a) Chứng minh DE // BF

Bước 1: Chứng minh DE // BC.

ABCD là hình bình hành, nên AD // BC.
Vì DE là tia phân giác của ADC , nên ADE =EDC =21​ADC .
Vì BF là tia phân giác của ABC , nên ABF =FBC =21​ABC .
Trong hình bình hành, ADC =ABC (hai góc đối).
Suy ra EDC =FBC (một nửa của hai góc bằng nhau).
Ta có AD // BC (ABCD là hình bình hành).
Vì AD // BC, và DE cắt AD, BC, nên ADE và FBC là các góc so le trong nếu xét đường thẳng cắt, nhưng ở đây chúng ta cần chứng minh song song dựa trên tính chất hình bình hành.
Sử dụng tính chất song song của hình bình hành:

ABCD là hình bình hành, nên AB // DC.
Xét đường thẳng DE và BF.
DE là tia phân giác của ADC . BF là tia phân giác của ABC .
Vì ADC =ABC (góc đối của hình bình hành), nên 21​ADC =21​ABC .
Tức là EDC =ABF .
Mà DC // AB, nên EDC và DEA là hai góc so le trong (EDC =DEA ).
Và ABF và BFC là hai góc so le trong (ABF =BFC ).
Cách chứng minh song song đơn giản hơn:

ABCD là hình bình hành, nên AD // BC.
Tia phân giác DE của ADC và tia phân giác BF của ABC .
ADC +DAB =180∘.
ABC +BCD =180∘.
ADC =ABC .
Xét tứ giác DEBF.
Ta có EBC =EDC (do ABC =ADC và BF, DE là phân giác).
Mặt khác, AB // DC, nên DEA =EDC (so le trong).
Và DFB =FBC (so le trong).
Suy ra DEA =FBC (vì cùng bằng một nửa góc D và B, mà góc D = góc B).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong khi đường thẳng AB cắt DE và BF.
À, không, DEA và FBC không phải là so le trong của DE và BF.
Hãy xét tứ giác EBFD:

E nằm trên AB, F nằm trên CD.
AB // CD ⇒ EB // FD.
Vậy, EBFD là hình thang. Để nó là hình bình hành thì EB = FD.
Ta cần chứng minh DE // BF.
Vì AD // BC (ABCD là hình bình hành), và DE là phân giác góc D, BF là phân giác góc B.
ADC +DAB =180∘ và ABC +BCD =180∘.
DE là phân giác ADC ⇒ADE =EDC .
BF là phân giác ABC ⇒ABF =FBC .
Vì AD // BC, ADC +DCB =180∘.
Vì AD // BC, DAB +ABC =180∘.
Sử dụng tính chất của tam giác:

Xét tam giác ADE: Do DE là phân giác của ADC , và AB // DC.

ADE =EDC (tia phân giác).
DEA =EDC (so le trong với AB // DC).
Vậy △ADE là tam giác cân tại A (vì ADE =DEA ).
Suy ra AD = AE. (1)
Tương tự, xét tam giác BCF: Do BF là phân giác của ABC , và AB // DC.

ABF =FBC (tia phân giác).
BFC =ABF (so le trong với AB // DC).
Vậy △BCF là tam giác cân tại C (vì FBC =BFC ).
Suy ra BC = CF. (2)
Từ (1) và (2), kết hợp với AD = BC (cạnh đối của hình bình hành), ta có AE = CF.
Bây giờ, xét tứ giác EBFD:

EB nằm trên AB, FD nằm trên DC.
EB // FD (vì AB // DC).
EF và BD là hai đường chéo.
Ta đã chứng minh AD = AE và BC = CF.
Trong hình bình hành ABCD, ta có AD // BC.
DE là một đoạn thẳng nối từ D đến AB. BF là một đoạn thẳng nối từ B đến CD.
Vì DE và BF là các tia phân giác của các góc đối của hình bình hành, và các góc đối này bằng nhau (D =B ).
21​D =21​B .
Vì AD // BC, ta có DE // BF. (Đây là một tính chất quen thuộc của các đường phân giác của các góc đối trong hình bình hành - chúng song song với nhau).
Để chứng minh chính xác: Ta có ADE =21​ADC .
Ta có CBF =21​ABC .
Mà ADC =ABC , suy ra ADE =CBF .
Vì AD // BC, ta xét đường thẳng AB cắt AD và BF, tạo ra các góc đồng vị hoặc so le trong.
DAB +ABC =180∘.
ADC +DCB =180∘.
ADC và ABC là các góc trong cùng phía với đường thẳng AB, DC.
DE // BF (Đây là tính chất nếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến (ví dụ BC) các cặp góc so le trong bằng nhau hoặc đồng vị bằng nhau. Nhưng ở đây, DE và BF không cắt cùng một cát tuyến chung một cách đơn giản).
Cách tốt nhất để chứng minh DE // BF:

Ta có EDC =21​ADC .
Ta có FBC =21​ABC .
Mà ADC =ABC (góc đối hình bình hành).
Suy ra EDC =FBC .
Vì DC // AB, ta có EDC và DEA là góc so le trong ⇒EDC =DEA .
Vì AB // DC, ta có ABF và BFC là góc so le trong ⇒ABF =BFC .
Ta có FBC =ABF (BF là phân giác).
Vậy DEA =BFC (cùng bằng 21​ABC ).
Xét đường thẳng DC song song với AB.
DE và BF là hai đường thẳng.
Do EDC =ABF và EDC +ADE =ADC .
Ta có CDE =ABF (vì chúng là một nửa của hai góc bằng nhau).
Xét DE và BF cắt đường thẳng DC. Không có mối quan hệ trực tiếp.
Chứng minh dựa vào AD = AE và BC = CF:

AD = AE (chứng minh ở trên).
BC = CF (chứng minh ở trên).
Mà AD = BC (cạnh đối hình bình hành).
Suy ra AE = CF.
Ta có AB = AE + EB.
Ta có DC = DF + FC.
Mà AB = DC, AE = CF.
Suy ra EB = DF.
Tứ giác EBFD có cặp cạnh đối EB và DF bằng nhau (EB = DF).
Và EB // DF (vì AB // DC).
Vậy, EBFD là hình bình hành.
Từ đó, suy ra DE // BF (đpcm).
b) Chứng minh DF = BF

Từ phần chứng minh trên, ta đã suy ra được DF = EB.
Để chứng minh DF = BF, ta cần chứng minh EB = BF.
Tuy nhiên, điều kiện AB > BC được cho.
Ta có △BCF cân tại C, nên BC = CF.
Ta có △ADE cân tại A, nên AD = AE.
Mà AD = BC (cạnh đối hình bình hành).
Suy ra AE = CF.
Ta có AB = AE + EB.
Ta có DC = DF + FC.
Vì AB = DC, và AE = CF, suy ra EB = DF.
Để chứng minh DF = BF, ta cần DF = EB và EB = BF.
Điều này chỉ đúng nếu tam giác EBF cân tại B, hoặc tứ giác EBFD là hình thoi (không phải luôn đúng).
Kiểm tra lại đề bài "DF = BF":

BF là tia phân giác của góc B.
△BCF cân tại C nên BC = CF.
Ta có DF = DC - FC = AB - BC.
Do đó, để DF = BF, thì AB−BC=BF.
Điều này không luôn đúng.
Có lẽ đề bài muốn chứng minh DF = DE hoặc BF = BE (tính chất các đoạn thẳng từ điểm trên cạnh đối đến đỉnh góc).

Ta đã có AD = AE (do △ADE cân tại A).
Ta có BC = CF (do △BCF cân tại C).
Vì ABCD là hình bình hành, AD = BC.
Suy ra AE = CF.
BF là độ dài của tia phân giác từ B đến F.
DE là độ dài của tia phân giác từ D đến E.
Chứng minh DF = BE: (Đây là điều đã chứng minh ở trên khi EBFD là hình bình hành)

AB = DC (hình bình hành)
AE = AD (tam giác cân ADE)
CF = CB (tam giác cân CBF)
EB = AB - AE = AB - AD
DF = DC - FC = DC - BC
Vì AB = DC và AD = BC, nên EB = DF. (đã chứng minh ở phần a)
Chứng minh DF = BF:

DF = DC - FC.
FC = BC (do △BCF cân tại C).
Vậy DF = DC - BC.
Để DF = BF, thì DC−BC=BF. Điều này không luôn đúng.
Có thể đề bài nhầm và muốn chứng minh BF = BC (là điều đã suy ra từ tam giác BCF cân tại C).
Hoặc đề bài muốn chứng minh DF = AB - BC. (Đã chứng minh).
Kết luận cho phần b) Chứng minh DF = BF: Với các thông tin và tính chất hình học đã có, không thể trực tiếp chứng minh DF = BF một cách tổng quát trong mọi hình bình hành. Nếu đề bài không có thêm dữ kiện nào khác, có thể có sự nhầm lẫn trong câu hỏi này. Tuy nhiên, nếu bạn muốn chứng minh EB = DF, thì điều này đã được chứng minh trong phần a) khi chứng minh EBFD là hình bình hành. Và ta cũng đã chứng minh được AD = AE và BC = CF.