Để tìm giao điểm của đường thẳng BM với mặt phẳng (SAD), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng bằng cách tìm giao tuyến phụ.

1. Chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng BM: Chọn mặt phẳng (BMD) hoặc (SBC) hoặc (ABCD). Mặt phẳng (ABCD) là tốt nhất vì nó chứa BM và cắt (SAD) tại một đường thẳng dễ tìm (AD).

2. Tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ (ABCD) với mặt phẳng (SAD):

Điểm chung thứ nhất: A (vì A thuộc AB, AB thuộc (ABCD); A thuộc AD, AD thuộc (SAD))
Điểm chung thứ hai: D (vì D thuộc CD, CD thuộc (ABCD); D thuộc AD, AD thuộc (SAD)) Vậy, giao tuyến của (ABCD) và (SAD) là đường thẳng AD.
3. Tìm giao điểm của đường thẳng BM với giao tuyến AD:

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi K là giao điểm của BM và AD.
K là giao điểm của đường thẳng BM với đường thẳng AD.
4. Kết luận: Vì K thuộc AD, mà AD nằm trong mặt phẳng (SAD), nên K cũng thuộc mặt phẳng (SAD). Do đó, K là giao điểm của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAD).

Để xác định vị trí của K một cách chính xác hơn:

Kẻ BM cắt AD tại K.
Trong hình bình hành ABCD, gọi O là tâm. Khi M là trung điểm DC.
Kéo dài BM cắt AD tại K.
Xét hình bình hành ABCD, AD // BC.
Theo định lý Ta-lét (trong tam giác KDM và KAB, hoặc dựa vào tính chất hình thang), ta có thể thấy mối quan hệ giữa các đoạn thẳng.
Dễ thấy tam giác KDM đồng dạng với tam giác KAB (hoặc ABM, tùy cách nhìn).
Xét đường thẳng BM trong hình thang ABCD với BC // AD. M là trung điểm DC.
Kẻ đường thẳng qua B và M.
Để tìm K, ta kéo dài BM và AD.
Vị trí của K: Do ABCD là hình bình hành, AB // DC. M là trung điểm DC. Kéo dài BM cắt AD tại K. Xét tam giác KDM và tam giác ABM. Có vẻ sẽ hợp lý hơn nếu xét tam giác KDM và tam giác BCM. Trong mặt phẳng (ABCD): Kéo dài BM cắt AD tại K. Xét tam giác KMD và tam giác BMC.

Góc KDM = Góc BCM (do AD // BC, đồng vị)
Góc KMD = Góc BMC (đối đỉnh)

Vậy tam giác KMD đồng dạng với tam giác BMC.

Từ đó, KM/BM​=MD/MC=BCKD​.

Vì M là trung điểm DC, nên MD = MC.

Do đó, MD/MC​=1. Suy ra KM/BM​=1, tức là KM = BM.

(Điều này có nghĩa là M là trung điểm của BK). Và KD/BC​=1, tức là KD = BC.

Vì BC = AD (tính chất hình bình hành), nên KD = AD.

Điều này có nghĩa là A là trung điểm của KD.
Kết luận cuối cùng: Giao điểm của đường thẳng BM với mặt phẳng (SAD) là điểm K, với K là giao điểm của đường thẳng BM kéo dài và đường thẳng AD. Điểm K nằm trên đường thẳng AD sao cho A là trung điểm của đoạn KD.
 
 
 

 
 

 Giả thiết bài toán:
Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình bình hành ABCDABCD
MM là trung điểm của cạnh DCDC
Cần tìm giao điểm của đường thẳng BMBM với mặt phẳng (SAD)(SAD)
 
 Phân tích và cách làm:
Để tìm giao điểm của BMBM với mặt phẳng (SAD)(SAD), ta sử dụng phương pháp giao tuyến phụ:

 Bước 1: Tìm giao điểm phụ
Chọn một điểm thuộc mặt phẳng (SAD)(SAD) mà cũng thuộc đường nào đó giao với BMBM

Gọi II là giao điểm của hai đường:

BMBM
Và mặt phẳng phụ (SAD)(SAD) — ta cần dựng được giao tuyến.
 Bước 2: Dựng giao tuyến phụ
Dựng mặt phẳng chứa BMBM, ví dụ mặt phẳng (BCD)(BCD), rồi tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng:

Giao tuyến của (SAD)(SAD) và (BCD)(BCD) là đường thẳng nào?

Vì DD là điểm chung, ta chọn thêm SS, thì đường thẳng SDSD là giao tuyến
 Bước 3: Tìm điểm giao
Giao điểm của BMBM với đường SDSD chính là điểm cần tìm — gọi là II

 
 Kết luận:
Giao điểm của đường thẳng BMBM với mặt phẳng (SAD)(SAD) là giao điểm của BMBM và đường thẳng SDSD