Để chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh nó là hình bình hành có một góc vuông.

Bước 1: Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

Xét tam giác ABD:

M là trung điểm của AB.
N là trung điểm của BD.
Theo tính chất đường trung bình của tam giác, MN song song với AD và MN=21​AD. (1)
Xét tam giác ACD:

P là trung điểm của DC.
Q là trung điểm của CA.
Theo tính chất đường trung bình của tam giác, PQ song song với AD và PQ=21​AD. (2)
Từ (1) và (2), suy ra MN song song với PQ và MN=PQ.
Xét tam giác ABC:

M là trung điểm của AB.
Q là trung điểm của CA.
Theo tính chất đường trung bình của tam giác, MQ song song với BC và MQ=21​BC. (3)
Xét tam giác BCD:

N là trung điểm của BD.
P là trung điểm của DC.
Theo tính chất đường trung bình của tam giác, NP song song với BC và NP=21​BC. (4)
Từ (3) và (4), suy ra MQ song song với NP và MQ=NP.
Vì tứ giác MNPQ có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau (MN∥PQ, MN=PQ và MQ∥NP, MQ=NP), nên MNPQ là hình bình hành.

Bước 2: Chứng minh hình bình hành MNPQ có một góc vuông.

Gọi I là giao điểm của đường thẳng AD và đường thẳng BC. (Có thể kéo dài AD và BC để chúng cắt nhau).

Trong tam giác ICD, ta có: C +D =90∘ (theo giả thiết) Tổng ba góc trong tam giác ICD là 180∘, nên CID =180∘−(C +D )=180∘−90∘=90∘. Điều này có nghĩa là AD vuông góc với BC.

Từ Bước 1, ta có MN song song với AD.
Từ Bước 1, ta có MQ song song với BC.
Vì MN song song với AD và MQ song song với BC, mà AD lại vuông góc với BC, nên MN vuông góc với MQ. Do đó, góc NMQ ​=90∘.

Kết luận:

Tứ giác MNPQ là hình bình hành (chứng minh ở Bước 1) và có một góc vuông (NMQ ​=90∘, chứng minh ở Bước 2). Vậy, tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.