Phần 1: Chứng minh △AHB=△AHC
 

Cho trước:

△ABC cân tại A (nghĩa là AB=AC).
AH là đường cao xuống BC (nghĩa là AH⊥BC).
Chứng minh:

Xét hai tam giác vuông △AHB và △AHC:

AB=AC (Vì △ABC cân tại A, giả thiết).
∠AHB=∠AHC=90∘ (Vì AH là đường cao, nên vuông góc với BC).
AH là cạnh chung của cả hai tam giác.
Do đó, theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông (HL) của tam giác vuông, △AHB≅△AHC.

Cách chứng minh khác (sử dụng SSS hoặc SAS):

Vì △ABC cân tại A và AH là đường cao, AH cũng là đường trung tuyến của △ABC. Điều này có nghĩa là H là trung điểm của BC, suy ra BH=HC.

Bây giờ, xét △AHB và △AHC:

AB=AC (Giả thiết).
BH=HC (Đã chứng minh H là trung điểm của BC).
AH là cạnh chung.
Do đó, theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (SSS), △AHB≅△AHC.

Phần 2: Chứng minh B,G,E thẳng hàng
 

Cho trước:

△ABC cân tại A.
AH là đường cao.
HD∥AC (D thuộc AB).
E là trung điểm của AC.
CD cắt AH tại G.
Chứng minh:

Tính chất từ Phần 1: Từ việc △AHB≅△AHC, ta suy ra BH=HC, tức là H là trung điểm của BC. Điều này có nghĩa là AH là đường trung tuyến của △ABC.
Xác định điểm D: Xét △ABC có H là trung điểm của BC (đã chứng minh). Kẻ đường thẳng HD song song với AC (HD∥AC). Theo định lý đường trung bình trong tam giác (hoặc định lý Ta-lét đảo), nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì nó sẽ cắt cạnh thứ ba tại trung điểm của cạnh đó. Vậy, D là trung điểm của AB.
CD là đường trung tuyến: Vì D là trung điểm của AB (đã chứng minh), nên đoạn thẳng CD là đường trung tuyến của △ABC xuất phát từ đỉnh C.
G là trọng tâm của △ABC: Chúng ta có AH là đường trung tuyến (vì H là trung điểm của BC). Chúng ta có CD là đường trung tuyến (vì D là trung điểm của AB). G là giao điểm của AH và CD. Giao điểm của hai đường trung tuyến trong một tam giác chính là trọng tâm của tam giác đó. Vậy, G là trọng tâm của △ABC.
BE là đường trung tuyến: Theo giả thiết, E là trung điểm của AC. Do đó, đoạn thẳng BE là đường trung tuyến của △ABC xuất phát từ đỉnh B.
Kết luận về sự thẳng hàng: Vì G là trọng tâm của △ABC, và trọng tâm thì luôn nằm trên cả ba đường trung tuyến của tam giác. BE là một đường trung tuyến của △ABC. Do đó, trọng tâm G phải nằm trên đường trung tuyến BE. Vậy, ba điểm B,G,E thẳng hàng.