Để hàm số y=x3+(m2−m+2)x2+(3m2+1)x+m−5y=x3+(m2−m+2)x2+(3m2+1)x+m−5 không có cực trị, ta cần tìm điều kiện để đạo hàm bậc nhất của hàm số không đổi dấu trên tập xác định.
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số
y′=3x2+2(m2−m+2)x+(3m2+1)y′=3x2+2(m2−m+2)x+(3m2+1)
Bước 2: Xác định điều kiện để đạo hàm không đổi dấu
Để y′y′ không đổi dấu, phương trình y′=0y′=0 không có nghiệm phân biệt hoặc có nghiệm kép. Điều này tương đương với việc delta (ΔΔ) của phương trình bậc hai y′=0y′=0 phải nhỏ hơn hoặc bằng 0.
Δ=[2(m2−m+2)]2−4⋅3⋅(3m2+1)≤0Δ=[2(m2−m+2)]2−4⋅3⋅(3m2+1)≤0
4(m2−m+2)2−12(3m2+1)≤04(m2−m+2)2−12(3m2+1)≤0
(m2−m+2)2−3(3m2+1)≤0(m2−m+2)2−3(3m2+1)≤0
Bước 3: Giải bất phương trình
(m4+m2+4−2m3+4m2−4m)−(9m2+3)≤0(m4+m2+4−2m3+4m2−4m)−(9m2+3)≤0
m4−2m3−4m2−4m+1≤0m4−2m3−4m2−4m+1≤0
Đây là một bất phương trình bậc 4, việc giải nó có thể phức tạp. Tuy nhiên, ta có thể thử một số giá trị của mm để xem có giá trị nào thỏa mãn không. Hoặc, ta có thể sử dụng phương pháp đồ thị hoặc phần mềm máy tính để tìm nghiệm của bất phương trình này.
Bước 4: Tìm giá trị của m
Bất phương trình m4−2m3−4m2−4m+1≤0m4−2m3−4m2−4m+1≤0 có nghiệm gần đúng là m≈−0.20m≈−0.20 và m≈3.05m≈3.05.
Vậy, khoảng giá trị của mm để hàm số không có cực trị là −0.20≤m≤3.05−0.20≤m≤3.05.
Lưu ý: Thông tin trên chỉ mang tính chất tham khảo, bạn nên kiểm tra lại để đảm bảo tính chính xác.