Để tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI trong tứ diện đều ABCD cạnh a, ta thực hiện như sau:
Bước 1: Chọn hệ tọa độ
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho:
A(0, 0, 0)
B(a, 0, 0)
C(a/2, a√3/2, 0)
D(a/2, a√3/6, a√6/3)
Bước 2: Tìm tọa độ điểm I
I là trung điểm của AD nên tọa độ của I là:
I=(0+a/22,0+a3/62,0+a6/32)=(a4,a312,a66)I=(20+a/2​,20+a3​/6​,20+a6​/3​)=(4a​,12a3​​,6a6​​)
Bước 3: Tìm vectơ chỉ phương của AB và CI
Vectơ chỉ phương của AB là AB→=(a,0,0)AB=(a,0,0)
Vectơ chỉ phương của CI là CI→=(a4−a2,a312−a32,a66−0)=(−a4,−5a312,a66)CI=(4a​−2a​,12a3​​−2a3​​,6a6​​−0)=(−4a​,−125a3​​,6a6​​)
Bước 4: Tính cosin góc giữa AB và CI
Công thức tính cosin góc giữa hai vectơ u→u và v→v là:
cos⁡(u→,v→)=u→⋅v→∣u→∣⋅∣v→∣cos(u,v)=∣u∣⋅∣v∣u⋅v​
Áp dụng vào bài toán:
AB→⋅CI→=a⋅(−a4)+0⋅(−5a312)+0⋅a66=−a24AB⋅CI=a⋅(−4a​)+0⋅(−125a3​​)+0⋅6a6​​=−4a2​
∣AB→∣=a2+02+02=a∣AB∣=a2+02+02​=a
∣CI→∣=(−a4)2+(−5a312)2+(a66)2=a216+75a2144+6a236=9a2+75a2+24a2144=108a2144=a10812=a32∣CI∣=(−4a​)2+(−125a3​​)2+(6a6​​)2​=16a2​+14475a2​+366a2​​=1449a2+75a2+24a2​​=144108a2​​=12a108​​=2a3​​
cos⁡(AB,CI)=−a24a⋅a32=−a24a232=−14⋅23=−123=−36cos(AB,CI)=a⋅2a3​​−4a2​​=2a23​​−4a2​​=−41​⋅3​2​=−23​1​=−63​​
Vậy, cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI là −36−63​​.
Lưu ý: Thông tin trên chỉ mang tính chất tham khảo, bạn nên kiểm tra lại để đảm bảo tính chính xác.