a. Chứng minh tứ giác AIHK là hình chữ nhật
Ta cần chứng minh:
AI // HK và AI = HK
AK // IH và AK = IH ⇒ hoặc chứng minh AI ⊥ AK và HK ⊥ AK, tức có 4 góc vuông
Phân tích:
I là hình chiếu của H lên AB ⇒ HI⊥ABHI ⊥ AB
K là hình chiếu của H lên AC ⇒ HK⊥ACHK ⊥ AC
Tam giác ABC vuông tại A ⇒ AB⊥ACAB ⊥ AC
=>Từ đó:
HI⊥AB ; HI ⊥ AB, HK⊥AC ; HK ⊥ AC, mà AB⊥ AC; AB ⊥ AC ⇒ IH//AC ; IH // AC, HK//AB; HK // AB
Ngoài ra:

Cùng điểm H hạ 2 đường vuông góc xuống AB và AC ⇒ Hai đường đó đều là đường cao từ H, nên HI ⊥ AB, HK ⊥ AC và AB ⊥ AC ⇒ AI ⊥ AK, các góc trong tứ giác đều là góc vuông.
Kết luận: Tứ giác AIHK có 4 góc vuông ⇒ là hình chữ nhật
 b. Chứng minh IK ⊥ AM

Ta cần chứng minh đoạn IK vuông góc với AM – trung tuyến từ A của tam giác vuông ABC.

Vì tam giác ABC vuông tại A ⇒ đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền sẽ bằng nửa độ dài cạnh BC, nên AM = MB = MC

Trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền cũng chính là đường trung trực của BC.

Ta đã biết:

I, K là hình chiếu của H lên AB và AC

Nên IK là đoạn nối hai hình chiếu vuông góc từ cùng một điểm H lên hai cạnh góc vuông AB và AC

Trong tam giác vuông, nếu từ một điểm H thuộc đường cao hạ hình chiếu lên hai cạnh góc vuông, thì đoạn nối hai hình chiếu (IK) sẽ vuông góc với trung tuyến từ đỉnh vuông

 Mặt khác, trong hình chữ nhật AIHK, đoạn IK là đường chéo, và AM nằm trong mặt phẳng chứa tam giác, nên ta có thể chứng minh IK ⊥ AM bằng cách chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng, hoặc sử dụng góc giữa hai đường thẳng bằng 90°.

Kết luận: IK ⊥ AM