Gọi đường phân giác góc $B$ là $\Delta_B: x-y=0$.

    + $B \in \Delta_B \implies B(b, b)$.

    + Gọi $H'$ là điểm đối xứng của $H(2, -2)$ qua $\Delta_B$. Dễ dàng tìm được $H'(-2, 2)$.

    + Vì $BC$ đối xứng với $AB$ qua $\Delta_B$ và $H \in AB$ nên $H' \in BC$.

    + Vector chỉ phương của $AB$ là $\vec{u}_{AB}$ cùng phương với $\vec{HB} = (b-2, b+2)$.

    + Vector chỉ phương của $BC$ là $\vec{u}_{BC}$ cùng phương với $\vec{H'B} = (b+2, b-2)$.

     ta có $\vec{HA} = -2\vec{HB}$.

    + $\vec{A} - \vec{H} = -2(\vec{B} - \vec{H}) \implies \vec{A} = 3\vec{H} - 2\vec{B}$.

    + $A = (3 \cdot 2 - 2b, 3 \cdot (-2) - 2b) = (6-2b, -6-2b)$.

    + Do $AD \parallel BC$ nên $AD$ có VTCP $\vec{u}_{AD} = \vec{u}_{BC} = (b+2, b-2)$.

    + Giả sử đường thẳng $AD$ đi qua $M(1, -7)$. Khi đó $\vec{AM}$ và $\vec{u}_{AD}$ cùng phương.

    + $\vec{AM} = (1 - (6-2b), -7 - (-6-2b)) = (2b-5, 2b-1)$.

   $\frac{2b-5}{b+2} = \frac{2b-1}{b-2}$ (với $b \neq \pm 2$).

    + $\iff (2b-5)(b-2) = (2b-1)(b+2)$

    + $\iff 2b^2 - 9b + 10 = 2b^2 + 3b - 2 \iff 12b = 12 \iff b=1$.

    + Với $b=1$:

        + $B(1, 1)$.

        + $A(6-2, -6-2) = (4, -8)$.

    + $\vec{AB} = (1-4, 1-(-8)) = (-3, 9)$.

    + $\vec{u}_{BC} = (1+2, 1-2) = (3, -1)$. Do đó $\vec{AD}$ có dạng $k(3, -1)$ với $k>0$.

    + $S_{ABCD} = |\det(\vec{AB}, \vec{AD})| = 48$.

    + $\begin{vmatrix} -3 & 3k \\ 9 & -k \end{vmatrix} = (-3)(-k) - 9(3k) = 3k - 27k = -24k$.

    + $|-24k| = 48 \implies 24k = 48 \implies k=2$.

    + $\vec{AD} = 2(3, -1) = (6, -2)$.

    + $\vec{D} = \vec{A} + \vec{AD} = (4, -8) + (6, -2) = (10, -10)$.

    + $\vec{C} = \vec{B} + \vec{AD} = (1, 1) + (6, -2) = (7, -1)$.

Tọa độ các đỉnh của hình bình hành là:

$A(4, -8), B(1, 1), C(7, -1), D(10, -10)$.