a: Xét ΔMIB vuông tại I và ΔMKC vuông tại K có

MB=MC

IMB^=KMC^IMB=KMC(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMIB=ΔMKC

=>BI=CK

b: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB

=>ΔMAB cân tại M

Xét ΔMHA vuông tại H và ΔMIB vuông tại I có

MA=MB

HMA^HMA chung

Do đó: ΔMHA=ΔMIB

=>HA=IB

mà BI=CK

nên HA=CK

Xét ΔAHC vuông tại H và ΔCKA vuông tại K có

AC chung

AH=CK

Do đó: ΔAHC=ΔCKA

=>HC=KA và KCA^=HAC^KCA=HAC

Gọi G là giao điểm của CK và AH

Xét ΔGAC có GAC^=GCA^GAC=GCA

nên ΔGAC cân tại G

=>GA=GC

Xét ΔMAC và ΔMDB có

MA=MD

AMC^=DMB^AMC=DMB(hai góc đối đỉnh)

MC=MB

Do đó: ΔMAC=ΔMDB

=>MAC^=MDB^MAC=MDB

=>AC//DB

mà MN⊥⊥DB

nên NM⊥⊥AC

Ta có: ΔMAC=ΔMDB

=>AC=DB

Ta có: AC//DB

AB⊥⊥AC

Do đó: BD⊥⊥BA

Xét ΔCAB vuông tại A và ΔDBA vuông tại B có

BA chung

CA=DB

Do đó: ΔCAB=ΔDBA

=>CB=DA

mà AM=MD=AD/2

và BM=CM=BC/2

nên MA=MC

=>M nằm trên đường trung trực của AC(1)

Ta có: GA=GC

=>G nằm trên đường trung trực của AC(2)

Từ (1),(2) suy ra GM là đường trung trực của AC

=>GM⊥⊥AC

mà NM⊥⊥AC

và GM,MN có điểm chung là M

nên G,N,M thẳng hàng

=>MN,CK,AH đồng quy

a: Xét ΔMIB vuông tại I và ΔMKC vuông tại K có

MB=MC

IMB^=KMC^IMB=KMC(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMIB=ΔMKC

=>BI=CK

b: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB

=>ΔMAB cân tại M

Xét ΔMHA vuông tại H và ΔMIB vuông tại I có

MA=MB

HMA^HMA chung

Do đó: ΔMHA=ΔMIB

=>HA=IB

mà BI=CK

nên HA=CK

Xét ΔAHC vuông tại H và ΔCKA vuông tại K có

AC chung

AH=CK

Do đó: ΔAHC=ΔCKA

=>HC=KA và KCA^=HAC^KCA=HAC

Gọi G là giao điểm của CK và AH

Xét ΔGAC có GAC^=GCA^GAC=GCA

nên ΔGAC cân tại G

=>GA=GC

Xét ΔMAC và ΔMDB có

MA=MD

AMC^=DMB^AMC=DMB(hai góc đối đỉnh)

MC=MB

Do đó: ΔMAC=ΔMDB

=>MAC^=MDB^MAC=MDB

=>AC//DB

mà MN⊥⊥DB

nên NM⊥⊥AC

Ta có: ΔMAC=ΔMDB

=>AC=DB

Ta có: AC//DB

AB⊥⊥AC

Do đó: BD⊥⊥BA

Xét ΔCAB vuông tại A và ΔDBA vuông tại B có

BA chung

CA=DB

Do đó: ΔCAB=ΔDBA

=>CB=DA

mà AM=MD=AD/2

và BM=CM=BC/2

nên MA=MC

=>M nằm trên đường trung trực của AC(1)

Ta có: GA=GC

=>G nằm trên đường trung trực của AC(2)

Từ (1),(2) suy ra GM là đường trung trực của AC

=>GM⊥⊥AC

mà NM⊥⊥AC

và GM,MN có điểm chung là M

nên G,N,M thẳng hàng

=>MN,CK,AH đồng quy