Để giải phương trình sau:

\[
\frac{3}{1 - x} + \frac{4}{x + 1} = \frac{1}{x^2 - 1}
\]

trước tiên, chúng ta sẽ biến đổi một số thành phần trong phương trình để làm cho mọi thứ dễ dàng hơn.

### Bước 1: Đưa mọi thứ về cùng mẫu số

Ta nhận thấy rằng \(x^2 - 1\) có thể được phân tích thành \((x - 1)(x + 1)\).

Do đó, phương trình có thể viết lại như sau:

\[
\frac{3}{1 - x} + \frac{4}{x + 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)}
\]

### Bước 2: Tìm mẫu số chung

Mẫu số chung của các phân số là \( (1 - x)(x + 1)(x - 1) \).

### Bước 3: Biến đổi từng phân số

1. Phân số \(\frac{3}{1 - x}\) sẽ có mẫu số là:

\[
\frac{3(x + 1)(x - 1)}{(1 - x)(x + 1)(x - 1)}
\]

2. Phân số \(\frac{4}{x + 1}\) sẽ có mẫu số là:

\[
\frac{4(1 - x)(x - 1)}{(x + 1)(1 - x)(x - 1)}
\]

3. Phân số \(\frac{1}{(x - 1)(x + 1)}\) sẽ có mẫu số là:

\[
\frac{1(1 - x)}{(x - 1)(x + 1)(1 - x)}
\]

### Bước 4: Viết lại phương trình

Giờ chúng ta có:

\[
\frac{3(x^2 - 1)}{(1 - x)(x + 1)(x - 1)} + \frac{4(1 - x)(x - 1)}{(1 - x)(x + 1)(x - 1)} = \frac{1(1 - x)}{(1 - x)(x + 1)(x - 1)}
\]

### Bước 5: Xác định điểm chung và giải phương trình

Loại bỏ mẫu số (mà không làm mất tính chính xác của phương trình, với điều kiện rằng mẫu không bằng 0):

\[
3(x^2 - 1) + 4(1 - x)(x - 1) = (1 - x)
\]

### Bước 6: Giải phương trình

Bây giờ bạn thực hiện các phép toán bên trái:

1. \(3(x^2 - 1) = 3x^2 - 3\)
2. \(4(1 - x)(x - 1) = 4(-x^2 + 2x - 1) = -4x^2 + 8x - 4\)

Tìm tổng:

\[
3x^2 - 3 - 4x^2 + 8x - 4 = 1 - x
\]

### Bước 7: Gom lại các hạng tử

\[
-x^2 + 8x - 7 = 1 - x
\]

Chuyển mọi thứ sang một bên:

\[
-x^2 + 9x - 8 = 0
\]

### Bước 8: Nhân cả phương trình với -1

\[
x^2 - 9x + 8 = 0
\]

### Bước 9: Giải phương trình bậc 2

Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \(a = 1\), \(b = -9\), \(c = 8\):

\[
x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2}
\]

\[
x = \frac{9 \pm 7}{2}
\]
Từ đó ta có 2 nghiệm:

1. \(x = \frac{16}{2} = 8\)
2. \(x = \frac{2}{2} = 1\)

### Kết luận

Nghiệm của phương trình là:

\[
x = 8 \quad \text{và} \quad x = 1
\]

Chúng ta cũng cần kiểm tra xem các nghiệm này có làm cho mẫu ở bên trái trở thành 0 hay không. Nghiệm \(x = 1\) sẽ làm cho các phân số không xác định (vì \(1 - x = 0\)). Do đó, nghiệm duy nhất là:

\[
x = 8
\]