Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Giả thiết:

ABCD là hình vuông cạnh $2a$
SA ⊥ mặt phẳng (ABCD)
AE ⊥ SB trong tam giác SAB, AF ⊥ SD trong tam giác SAD ⇒ $AE, AF$ là đường cao
Góc giữa SB và mặt phẳng (SAD) là $60^\circ$

a) Chứng minh SC ⊥ (AEF)

Do:

AE ⊥ SB (tam giác SAB)
AF ⊥ SD (tam giác SAD)

⇒ Mặt phẳng (AEF) ⊥ mặt phẳng (SBD), vì (AEF) chứa 2 đường cao lần lượt vuông góc SB và SD

Gọi $C \in (ABCD)$, cạnh đáy vuông ⇒ SD và SB nằm trong đáy

Ta có:

SA ⊥ đáy ⇒ SA ⊥ SB và SA ⊥ SD
SC nằm trong mặt phẳng (SBD)

Mà (AEF) ⊥ (SBD) ⇒ SC ⊥ (AEF)

b) Tính thể tích khối chóp SABCD

V $\frac{1}{3} \cdot$ diện tích đáy $\cdot$ chiều cao

Đáy ABCD là hình vuông cạnh $2a$ ⇒ diện tích đáy:

$S_{A B C D} = (2 a^{2}) = 4 a^{2}$

SA ⊥ đáy ⇒ SA là chiều cao

Gọi góc giữa SB và mặt phẳng (SAD) là $60^\circ$, ta cần dựng tam giác SAB và SAD, tính độ dài SA.

Xét tam giác SAB vuông tại A:

AB = 2a, SA ⊥ mặt đáy ⇒ tam giác SAB vuông tại A
⇒ Dựng tam giác vuông SA vuông góc AB
Góc giữa SB và mặt phẳng (SAD) là góc giữa SB và hình chiếu của SB lên (SAD)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD), tức H ≡ A
Gọi $\alpha$ là góc giữa SB và mặt phẳng (SAD)

Dựng hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SAD), hình chiếu đó chính là đường thẳng từ B vuông góc với mặt phẳng (SAD), giao tại điểm nào đó trên (SAD), nhưng vì SA ⊥ (ABCD), nên SB không có thành phần nghiêng trong đáy — mà hướng nghiêng phụ thuộc vào SA.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Trong tam giác SAB vuông tại A, có:

$\tan (60 °) = \frac{S A}{A B} = \frac{S A}{2 a} \Rightarrow S A = 2 a \cdot \tan (60 °) = 2 a \cdot \sqrt{3}$

Vậy thể tích:

V = $\frac{1}{3} \cdot 4 a^{2} \cdot 2 a \sqrt{3} = \frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

a) SC ⊥ (AEF)
b) Thể tích khối chóp SABCD là $\frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

...Xem thêm

Answer 2