Chào bạn! Bài toán này liên quan đến việc tìm đường thẳng nằm trong một mặt phẳng và có khoảng cách lớn nhất đến một đường thẳng cho trước. Chúng ta sẽ giải quyết bài toán này theo các bước sau:

1. Xác định VTCP của đường thẳng d và pháp tuyến của mặt phẳng (P):

Đường thẳng d:2x−1​=3y+6​=1z+2​ có VTCP là ud​ ​=(2;3;1).
Mặt phẳng (P):2x+3y−z+5=0 có vectơ pháp tuyến là nP​ ​=(2;3;−1).
2. Kiểm tra vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P):

Lấy một điểm M(1;−6;−2) thuộc đường thẳng d.
Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P): 2(1)+3(−6)−(−2)+5=2−18+2+5=−9=0. Vậy điểm M không thuộc mặt phẳng (P), suy ra đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P).
Tính tích vô hướng của ud​ ​ và nP​ ​: ud​ ​⋅nP​ ​=2(2)+3(3)+1(−1)=4+9−1=12=0. Vậy đường thẳng d không song song và không vuông góc với mặt phẳng (P), do đó đường thẳng d cắt mặt phẳng (P).
3. Xác định giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng (P):

Tham số hóa phương trình đường thẳng d: ⎩ ⎨ ⎧​x=1+2ty=−6+3tz=−2+t​
Thay vào phương trình mặt phẳng (P): 2(1+2t)+3(−6+3t)−(−2+t)+5=0 2+4t−18+9t+2−t+5=0 12t−9=0⇒t=129​=43​
Thay t=43​ vào phương trình đường thẳng d để tìm tọa độ giao điểm I: x=1+2(43​)=1+23​=25​ y=−6+3(43​)=−6+49​=4−24+9​=−415​ z=−2+43​=4−8+3​=−45​ Vậy giao điểm I=(25​;−415​;−45​).
4. Tìm đường thẳng Δ:

Đường thẳng Δ đi qua điểm A(0;0;5) và nằm trong mặt phẳng (P).
Khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng Δ đến đường thẳng d là không đổi. Do đó, khoảng cách từ đường thẳng Δ đến đường thẳng d chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d hoặc khoảng cách từ giao điểm I đến đường thẳng Δ.
Để khoảng cách từ đường thẳng Δ đến đường thẳng d là lớn nhất, đường thẳng Δ phải vuông góc với hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P).
5. Tìm hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P):

Gọi d′ là hình chiếu của d lên (P). Đường thẳng d′ sẽ đi qua giao điểm I.
VTCP của d′ sẽ vuông góc với vectơ pháp tuyến của (P).
Gọi ud′​ ​ là VTCP của d′. Ta có ud′​ ​⋅nP​ ​=0.
Ngoài ra, ud′​ ​ nằm trong mặt phẳng tạo bởi ud​ ​ và nP​ ​, và vuông góc với thành phần của nP​ ​ theo hướng ud​ ​.
Ta có thể tìm ud′​ ​ bằng cách lấy tích có hướng của nP​ ​ và [ud​ ​,nP​ ​]: [ud​ ​,nP​ ​]=(3(−1)−1(3);1(2)−2(−1);2(3)−3(2))=(−6;4;0) ud′​ ​=[nP​ ​,[ud​ ​,nP​ ​]]=(2;3;−1)×(−6;4;0)=(3(0)−(−1)4;(−1)(−6)−2(0);2(4)−3(−6))=(4;6;8) Ta có thể chọn VTCP của d′ là ud′​ ​=(2;3;4) (chia cho 2).
6. Tìm VTCP của đường thẳng Δ:

Đường thẳng Δ đi qua A nằm trong (P) và cách d một khoảng lớn nhất khi Δ vuông góc với hình chiếu d′ của d trên (P).
VTCP của Δ, gọi là uΔ​ ​, sẽ vuông góc với ud′​ ​ và nằm trong mặt phẳng (P), do đó uΔ​ ​ cũng vuông góc với nP​ ​.
Vậy uΔ​ ​ vuông góc đồng thời với ud′​ ​=(2;3;4) và nP​ ​=(2;3;−1).
Ta có thể tìm uΔ​ ​ bằng tích có hướng của nP​ ​ và ud′​ ​: uΔ​ ​=[nP​ ​,ud′​ ​]=(2;3;−1)×(2;3;4)=(3(4)−(−1)3;(−1)2−2(4);2(3)−3(2))=(12+3;−2−8;6−6)=(15;−10;0) Ta có thể chọn VTCP của Δ là UTCP =(3;−2;0) (chia cho 5).
7. Tính tổng các thành phần của VTCP của Δ:

Tổng của VTCP của Δ là 3+(−2)+0=1.
Vậy tổng của VTCP của đường thẳng Δ là 1.