1. Phân tích bài toán và vẽ hình:

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Giả sử cạnh bên đó là SA, và mặt phẳng đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Vậy SA⊥(ABCD).
Góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) bằng 45∘.
Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM=3a​.
Yêu cầu tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD).
Chúng ta có thể hình dung hình chóp như sau:

Đoạn mã 
graph TD
A --- B
B --- C
C --- D
D --- A
subgraph Mặt đáy ABCD
direction LR
A -- a --> B
B -- a --> C
C -- a --> D
D -- a --> A
end
S --- A
S --- B
S --- C
S --- D

2. Xác định chiều cao của hình chóp SA:

Xét tam giác vuông SAC tại A (SA⊥(ABCD)⟹SA⊥AC).
Góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) là góc ∠SCA=45∘.
Trong tam giác vuông ABC, theo định lý Pytago, ta có: AC2=AB2+BC2=a2+a2=2a2 ⟹AC=a2 ​
Trong tam giác vuông SAC có ∠SCA=45∘, suy ra tam giác SAC là tam giác vuông cân tại A.
Do đó, SA=AC=a2 ​.
3. Xác định vị trí điểm M:

Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM=3a​.
Vì BC=a, nên MC=BC−BM=a−3a​=32a​.
4. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD):

Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD), chúng ta có thể sử dụng phương pháp thể tích. Ta sẽ tính thể tích của hình chóp S.MCD và diện tích của tam giác SCD. Khoảng cách từ M đến (SCD) sẽ bằng SSCD​3VS.MCD​​.

Tính thể tích hình chóp S.MCD:

Thể tích hình chóp S.BCD là: VS.BCD​=31​⋅S△BCD​⋅SA=31​⋅(21​⋅BC⋅CD)⋅SA=31​⋅(21​⋅a⋅a)⋅a2 ​=6a32 ​​
Hai tam giác MCD và BCD có cùng chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đường thẳng BC. Tỉ lệ diện tích của chúng bằng tỉ lệ độ dài đáy tương ứng: S△BCD​S△MCD​​=BCMC​=a32a​​=32​ ⟹S△MCD​=32​S△BCD​=32​⋅2a2​=3a2​
Thể tích hình chóp S.MCD là: VS.MCD​=31​⋅S△MCD​⋅SA=31​⋅3a2​⋅a2 ​=9a32 ​​
Tính diện tích tam giác SCD:

Tam giác SCD là tam giác vuông tại C (SC⊥CD vì CD⊥(SBC)).
CD=a.
Xét tam giác vuông SAC: SC=SA2+AC2 ​=(a2 ​)2+(a2 ​)2 ​=2a2+2a2 ​=4a2 ​=2a.
Diện tích tam giác SCD là: S△SCD​=21​⋅SC⋅CD=21​⋅2a⋅a=a2.
Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD): d(M,(SCD))=SSCD​3VS.MCD​​=a23⋅9a32 ​​​=a23a32 ​​​=3a2 ​​.
Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD) là 3a2 ​​.