Tuyệt vời! Chúng ta sẽ cùng nhau giải bài toán hình học này một cách chi tiết.

a) Tính góc C:

Tam giác ABC vuông tại A, nên ∠BAC=90∘.
Theo đề bài, ∠B=60∘.
Trong tam giác ABC, tổng ba góc bằng 180∘. Vậy: ∠A+∠B+∠C=180∘ 90∘+60∘+∠C=180∘ 150∘+∠C=180∘ ∠C=180∘−150∘ ∠C=30∘

Vậy, góc C của tam giác ABC bằng 30∘​.
b) Chứng minh BE là tia phân giác của góc B:

Theo đề bài, H là điểm trên AB sao cho HB = AB. Điều này có vẻ không hợp lý, vì một đoạn thẳng không thể bằng chính nó trừ khi nó có độ dài bằng 0. Có lẽ bạn muốn nói HB là một phần của AB? Nếu đề bài là HB = 21​ AB hoặc H là trung điểm của AB, thì cách chứng minh sẽ khác.

Tuy nhiên, nếu đề bài đúng là HB = AB, thì điểm H trùng với điểm A. Trong trường hợp này, HE vuông góc với BC tại H (trùng với A), nghĩa là AE vuông góc với BC tại A. Điều này mâu thuẫn với việc tam giác ABC vuông tại A (AB vuông góc với AC).

Tôi xin phép điều chỉnh giả thiết có thể đúng hơn để có thể chứng minh được yêu cầu của bài toán. Giả sử đề bài là: Trên AB lấy điểm H sao cho HB = 21​ AB (H là trung điểm của AB).

Với giả thiết đã điều chỉnh:

Xét tam giác ABE và tam giác HBE:

BE là cạnh chung.
∠BAE=∠BHE=90∘ (HE vuông góc BC tại H, mà H nằm trên AB).
BA = 2BH (vì H là trung điểm của AB).
Chúng ta cần một yếu tố cạnh hoặc góc bằng nhau khác để chứng minh hai tam giác này bằng nhau hoặc có mối liên hệ để suy ra BE là tia phân giác.
Hoặc, một cách tiếp cận khác nếu HE vuông góc BC tại H (như đề bài gốc, nhưng bỏ qua sự mâu thuẫn HB=AB):

Xét tam giác BHE vuông tại H: ∠HBE+∠HEB+∠BHE=180∘. ∠HBE+∠HEB+90∘=180∘ ∠HBE+∠HEB=90∘
Xét tam giác ABC vuông tại A: ∠ABC+∠ACB=90∘. 60∘+30∘=90∘ (đã chứng minh ở câu a).
Để chứng minh BE là tia phân giác của góc B, ta cần chứng minh ∠ABE=∠CBE.

Với giả thiết gốc HB = AB, điểm H trùng với A, vậy HE trở thành AE vuông góc BC. Điều này không giúp chứng minh BE là tia phân giác của góc B.

Tôi nhận thấy có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài. Nếu H nằm trên AB và HE vuông góc BC tại H, thì H phải là hình chiếu của E trên BC, chứ không phải nằm trên AB trừ khi AB vuông góc BC (điều này không đúng vì tam giác ABC vuông tại A).

Xin vui lòng kiểm tra lại đề bài ở phần vị trí điểm H và đường thẳng HE.

Tuy nhiên, nếu chúng ta tạm bỏ qua sự không logic này và cố gắng suy luận theo hình vẽ có thể hình dung (E nằm trên AC, HE vuông góc BC tại H mà H lại nằm trên AB), thì việc chứng minh BE là tia phân giác của góc B có thể dựa vào tính chất điểm nằm trên tia phân giác cách đều hai cạnh của góc.

Nếu BE là tia phân giác của ∠ABC, thì khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên BE đến AB và BC phải bằng nhau. Điểm H nằm trên AB, và HE vuông góc BC tại H, nên HE là khoảng cách từ E đến BC. Để chứng minh BE là tia phân giác, ta cần chứng minh khoảng cách từ E đến AB cũng bằng HE. Điều này phụ thuộc vào vị trí chính xác của điểm E.
c) Gọi K là giao điểm của BA và HE. Chứng minh rằng BE vuông góc với KC:

Với giả thiết "HE vuông góc với BC tại H (E thuộc AC)", và K là giao điểm của BA và HE, thì điểm K chính là điểm H vì H nằm trên AB (BA). Vậy K trùng với H.
Khi đó, ta cần chứng minh BE vuông góc với HC.

Xét tam giác ABC vuông tại A có ∠B=60∘, suy ra đây là nửa tam giác đều. Do đó, BC = 2AB và AC = AB$\sqrt{3}$.
Nếu H là trung điểm của AB (theo giả thiết đã điều chỉnh ở phần b), thì BH = $\frac{1}{2}$AB.
Xét tam giác BHE vuông tại H.
Để chứng minh BE vuông góc với HC, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh tích vô hướng của hai vectơ BE và HC bằng 0, hoặc sử dụng các tính chất hình học khác.
Tuy nhiên, với sự không rõ ràng và có vẻ mâu thuẫn trong đề bài gốc về vị trí điểm H và đường thẳng HE, việc chứng minh một cách chính xác là rất khó khăn.
Để có thể giải quyết trọn vẹn bài toán này, xin bạn vui lòng kiểm tra và cung cấp lại đề bài chính xác, đặc biệt là vị trí của điểm H và mối quan hệ của HE với BC và các cạnh của tam giác.