Chào bạn, chúng ta sẽ cùng nhau giải bài toán hình học này từng bước nhé!

a) Chứng minh: D là trung điểm của cạnh BC

Tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC và ∠BAD=∠CAD (vì AD là tia phân giác góc A).
Xét △ABD và △ACD:AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
∠BAD=∠CAD (AD là tia phân giác góc A)
AD là cạnh chung
Do đó, △ABD=△ACD (c.g.c).
Từ hai tam giác bằng nhau, ta suy ra BD = CD (hai cạnh tương ứng).
Vậy, D là trung điểm của cạnh BC.
b) Chứng minh: tam giác BAE cân

Ta có DE = DA (theo giả thiết).
Xét △BDE và △CDA:BD = CD (chứng minh ở câu a)
∠BDA=∠CDA (vì D nằm giữa B và C nên hai góc này kề bù và bằng nhau, mỗi góc bằng 90 độ do AD là đường phân giác đồng thời là đường cao trong tam giác cân ABC)
DE = DA (theo giả thiết)
Do đó, △BDE=△CDA (c.g.c).
Từ hai tam giác bằng nhau, ta suy ra BE = CA (hai cạnh tương ứng).
Mà CA = BA (tam giác ABC cân tại A).
Vậy, BE = BA.
Do đó, tam giác BAE cân tại B.
c) M là trung điểm cạnh AC, N là giao điểm của cạnh BC và cạnh EM Chứng minh: BC = 3NC

Để chứng minh BC = 3NC, chúng ta sẽ sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ACD và đường thẳng E-N-M.

Đường thẳng E-N-M cắt các cạnh (hoặc đường kéo dài của các cạnh) của tam giác ACD tại các điểm E (trên tia đối của DA), N (trên cạnh CD, vì N là giao điểm của EM và BC), và M (trên cạnh AC).
Theo định lý Menelaus cho △ACD và đường thẳng E-N-M, ta có:

EDAE​⋅NCDN​⋅MACM​=1
Ta có:

AE = AD + DE = AD + DA = 2AD (vì E nằm trên tia đối của DA và DE = DA).
ED = DA (theo giả thiết).
CM = MA (vì M là trung điểm của AC).
Thay các giá trị này vào định lý Menelaus:

AD2AD​⋅NCDN​⋅MAMA​=1

2⋅NCDN​⋅1=1

NCDN​=21​
Từ NCDN​=21​, ta suy ra 2DN=NC.
Ta biết rằng D là trung điểm của BC, nên BC = BD + DC = 2DC.
Mặt khác, NC + DN = DC. Thay 2DN=NC vào, ta có:

2DN+DN=DC

3DN=DC
Vậy, DN=31​DC.
Ta có NC=2DN=2⋅31​DC=32​DC.
Do BC = 2DC, suy ra DC=21​BC.
Thay DC=21​BC vào biểu thức của NC:

NC=32​⋅21​BC=31​BC
Từ NC=31​BC, ta suy ra BC=3NC.
Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán. Chúc bạn học tốt nha !