Ta có:

Trọng tâm tam giác G(−23;43)G\left( -\frac{2}{3}; \frac{4}{3} \right)
Hai cạnh:

AB: x+6y−14=0x + 6y - 14 = 0
AC: 3x−2y−2=03x - 2y - 2 = 0
Cần tìm phương trình đường thẳng BC có dạng x+by+c=0x + by + c = 0, rồi tính b+cb + c.

Bước 1: Tìm tọa độ điểm A – giao điểm của AB và AC
Giải hệ:

{x+6y=14(1)3x−2y=2(2)\begin{cases} x + 6y = 14 \quad (1)\\ 3x - 2y = 2 \quad (2) \end{cases}Nhân (1) với 3:

3x+18y=42(1′)3x + 18y = 42 \quad (1')Lấy (1') – (2):

(3x+18y)−(3x−2y)=42−220y=40⇒y=2(3x + 18y) - (3x - 2y) = 42 - 2 \\ 20y = 40 \Rightarrow y = 2Thay vào (1):

x+6∗2=14⇒x=2x + 6*2 = 14 \Rightarrow x = 2➡️ Điểm A(2, 2)

Bước 2: Gọi B(x1,y1),C(x2,y2)B(x_1, y_1), C(x_2, y_2). Dùng trọng tâm:
Trọng tâm G là trung bình cộng 3 đỉnh:

G=(xA+xB+xC3,yA+yB+yC3)G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)Thay số:

(2+x1+x23,2+y1+y23)=(−23,43)\left( \frac{2 + x_1 + x_2}{3}, \frac{2 + y_1 + y_2}{3} \right) = \left( -\frac{2}{3}, \frac{4}{3} \right)Giải:

Hoành độ:

2+x1+x23=−23⇒2+x1+x2=−2⇒x1+x2=−4(3)\frac{2 + x_1 + x_2}{3} = -\frac{2}{3} \Rightarrow 2 + x_1 + x_2 = -2 \Rightarrow x_1 + x_2 = -4 \quad (3)
Tung độ:

2+y1+y23=43⇒2+y1+y2=4⇒y1+y2=2(4)\frac{2 + y_1 + y_2}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow 2 + y_1 + y_2 = 4 \Rightarrow y_1 + y_2 = 2 \quad (4)

Bước 3: Vì B thuộc AB, nên tọa độ B thỏa phương trình AB: x+6y=14x + 6y = 14
Giả sử B=(x1,y1)B = (x_1, y_1), thì:

x1+6y1=14(5)x_1 + 6y_1 = 14 \quad (5)
Bước 4: C thuộc AC, nên 3x2−2y2=23x_2 - 2y_2 = 2
3x2−2y2=2(6)3x_2 - 2y_2 = 2 \quad (6)
Bước 5: Giải hệ gồm (3), (4), (5), (6)
Từ (3): x2=−4−x1x_2 = -4 - x_1
Từ (4): y2=2−y1y_2 = 2 - y_1

Thay vào (6):

3x2−2y2=2⇒3(−4−x1)−2(2−y1)=2−12−3x1−4+2y1=2−3x1+2y1=18(7)3x_2 - 2y_2 = 2 \Rightarrow 3(-4 - x_1) - 2(2 - y_1) = 2 \\ -12 - 3x_1 - 4 + 2y_1 = 2 \\ -3x_1 + 2y_1 = 18 \quad (7)Từ (5): x1=14−6y1x_1 = 14 - 6y_1, thay vào (7):

−3(14−6y1)+2y1=18−42+18y1+2y1=1820y1=60⇒y1=3x1=14−6∗3=−4-3(14 - 6y_1) + 2y_1 = 18 \\ -42 + 18y_1 + 2y_1 = 18 \\ 20y_1 = 60 \Rightarrow y_1 = 3 \\ x_1 = 14 - 6*3 = -4➡️ B=(−4,3)B = (-4, 3)

Từ (3): x2=−4−x1=−4−(−4)=0x_2 = -4 - x_1 = -4 - (-4) = 0

Từ (4): y2=2−y1=2−3=−1y_2 = 2 - y_1 = 2 - 3 = -1

➡️ C=(0,−1)C = (0, -1)

Bước 6: Tìm phương trình đường thẳng BC qua 2 điểm B và C
B(−4,3),C(0,−1)B(-4, 3), C(0, -1)
Tính hệ số góc:

k=−1−30−(−4)=−44=−1k = \frac{-1 - 3}{0 - (-4)} = \frac{-4}{4} = -1Phương trình dạng:

y−y0=k(x−x0)⇒y−3=−1(x+4)⇒y−3=−x−4⇒x+y+1=0y - y_0 = k(x - x_0) \Rightarrow y - 3 = -1(x + 4) \\ \Rightarrow y - 3 = -x - 4 \Rightarrow x + y + 1 = 0So với dạng đề bài yêu cầu: x+by+c=0x + by + c = 0

➡️ b=1,c=1⇒b+c=2b = 1, c = 1 \Rightarrow b + c = \boxed{2}

✅ Đáp án: 2\boxed{2}