Chào bạn, mình sẽ giúp bạn giải bài toán hình học này nhé.

a) Chứng minh DE = DB

Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Pytago, ta có: BC2=AB2+AC2 Theo đề bài, AB=21​AC, suy ra AC=2AB. Thay vào phương trình trên: BC2=AB2+(2AB)2=AB2+4AB2=5AB2 BC=AB5 ​
Vì E là trung điểm của BC nên BE=EC=21​BC=2AB5 ​​.
AD là tia phân giác của góc BAC (góc 90 độ) nên ∠BAD=∠CAD=45∘.
Xét tam giác ABD, theo định lý hàm sin: sin(∠BAD)BD​=sin(∠ADB)AB​ sin(45∘)BD​=sin(∠ADB)AB​ BD=sin(∠ADB)AB⋅sin(45∘)​=sin(∠ADB)AB⋅22 ​​​
Xét tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AE ứng với cạnh huyền BC nên AE=21​BC=BE=EC=2AB5 ​​. Vậy tam giác ABE cân tại E. ∠BAE=∠ABE=∠B.
Trong tam giác ABC vuông tại A, tan(B)=ABAC​=AB2AB​=2.
Xét tam giác ABD, ∠ADB=180∘−∠B−∠BAD=180∘−∠B−45∘=135∘−∠B. sin(∠ADB)=sin(135∘−∠B)=sin(135∘)cos(B)−cos(135∘)sin(B) sin(∠ADB)=22 ​​cos(B)−(−22 ​​)sin(B)=22 ​​(cos(B)+sin(B))
Ta có tan(B)=2=cos(B)sin(B)​⇒sin(B)=2cos(B). sin2(B)+cos2(B)=1⇒(2cos(B))2+cos2(B)=1⇒5cos2(B)=1⇒cos2(B)=51​⇒cos(B)=5 ​1​ (vì góc B nhọn). sin(B)=2cos(B)=5 ​2​.
sin(∠ADB)=22 ​​(5 ​1​+5 ​2​)=22 ​​⋅5 ​3​=25 ​32 ​​.
BD=25 ​32 ​​AB⋅22 ​​​=AB⋅22 ​​⋅32 ​25 ​​=3AB5 ​​.
Ta thấy DE=2AB5 ​​ và DB=3AB5 ​​. Vậy DE=DB.
Có vẻ có sai sót trong quá trình tính toán trên. Mình sẽ thử một cách tiếp cận khác cho câu a).

Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó AM = MC = AB. Tam giác ABM vuông cân tại A.
∠ABM=45∘.
Xét tam giác AMC cân tại M (MA = MC), ∠MAC=90∘, suy ra ∠MCA=∠MAC=45∘.
∠ABC=90∘−∠BCA=90∘−45∘=45∘. Vậy tam giác ABC vuông cân tại B? Điều này mâu thuẫn với giả thiết AB=21​AC.
Mình cần xem xét lại giả thiết và cách tiếp cận.

Cách tiếp cận khác cho câu a): Sử dụng tọa độ (có thể hơi phức tạp cho lớp 8)

Đặt A là gốc tọa độ (0, 0).
Giả sử AB=a, khi đó AC=2a.
Tọa độ các điểm: A(0,0), B(a,0), C(0,2a).
Trung điểm E của BC có tọa độ: E(2a+0​,20+2a​)=E(2a​,a).
Phương trình đường thẳng BC: ax​+2ay​=1⇔2x+y=2a⇔y=−2x+2a.
Phương trình đường phân giác AD của góc BAC (trục Oy và Ox): y=x (vì góc BAC là 90 độ).
Tọa độ điểm D là giao điểm của AD và BC: x=−2x+2a⇔3x=2a⇔x=32a​. Vậy D(32a​,32a​).
Độ dài DB: DB=(32a​−a)2+(32a​−0)2 ​=(−3a​)2+(32a​)2 ​=9a2​+94a2​ ​=95a2​ ​=3a5 ​​.
Độ dài DE: DE=(2a​−32a​)2+(a−32a​)2 ​=(63a−4a​)2+(33a−2a​)2 ​=(−6a​)2+(3a​)2 ​=36a2​+9a2​ ​=36a2+4a2​ ​=365a2​ ​=6a5 ​​.
Kết quả theo phương pháp tọa độ cho thấy DE=DB. Có lẽ đề bài hoặc cách hiểu của mình có vấn đề.

Mình sẽ thử lại câu a) bằng phương pháp hình học thuần túy một lần nữa.

Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AB. Tam giác ABF vuông cân tại A.
AD là phân giác ∠BAC nên cũng là đường trung trực của BF. Suy ra DB = DF.
E là trung điểm BC. Xét tam giác BFC, DE là đường trung bình của tam giác BFC nếu D là trung điểm BF, điều này không đúng.
Mình nghi ngờ tính đúng của đề bài ở phần a). Tuy nhiên, mình sẽ tiếp tục giải các phần sau dựa trên giả thiết của đề bài.

b) AB cắt ED tại K. Chứng minh tam giác AKB cân và N là trung điểm của AK

Xét tam giác ABC, E là trung điểm BC.
Xét tam giác BCD, nếu DE = DB (theo phần a, mình chưa chứng minh được), thì tam giác BDE cân tại D. ∠DEB=∠DBE.
∠DBE=∠ABC.
∠DEB và ∠AEK là hai góc đối đỉnh nên ∠AEK=∠DEB=∠ABC.
Xét tam giác ABE cân tại E (AE=BE=21​BC), ∠BAE=∠ABE=∠ABC.
Trong tam giác AKB, ∠KAB=∠BAE=∠ABC và ∠ABK=∠ABC.
Vậy ∠KAB=∠ABK, suy ra tam giác AKB cân tại K.
Để chứng minh N là trung điểm của AK, ta cần thông tin về điểm N. Đề bài chưa định nghĩa điểm N. Vui lòng cung cấp thông tin về điểm N.
c) AD cắt CL tại H. Chứng minh AH vuông góc với KC

Đề bài chưa định nghĩa điểm L. Vui lòng cung cấp thông tin về điểm L.
Tóm lại:

Phần a) mình chưa chứng minh được DE=DB và có dấu hiệu mâu thuẫn. Bạn vui lòng kiểm tra lại đề bài.
Phần b) chứng minh tam giác AKB cân dựa trên kết quả (chưa chắc chắn) của phần a) và cần thông tin về điểm N.
Phần c) cần thông tin về điểm L để có thể giải.