Đề bài (hiểu đúng):

Ông An muốn làm một cái cổng hình parabol như hình vẽ.

Chiều cao GH=5GH = 5GH=5 mét.
Chiều rộng đáy AB=4,0AB = 4,0AB=4,0 mét.
Khoảng cách AC=BD=1,5AC = BD = 1,5AC=BD=1,5 mét.
Ông An làm hai cánh cổng:

Phần khung cong làm bằng sắt, giá 1,2 triệu đồng/m.
Phần chấn song (làm xiên hoặc thẳng) giá 0,9 triệu đồng/m².
Hỏi: Tính tổng số tiền để làm hai phần trên? (Đơn vị: triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Cách làm:
Để tính chi phí, ta cần:

Bước 1: Tính độ dài khung cong.
Bước 2: Tính diện tích phần chắn bên trong.
Bước 3: Tính tổng chi phí.

Bước 1: Tính độ dài khung cong
Khung cong có dạng parabol, nên ta cần tìm công thức parabol rồi tính độ dài đoạn cung từ AAA đến CCC (một cánh).

Giả sử parabol có phương trình:

y=ax2y = a x^2y=ax2Với:

Đỉnh parabol tại GGG (gốc tọa độ), G(0,5)G(0, 5)G(0,5).
AAA có hoành độ x=−2x = -2x=−2 (vì nửa đáy =2= 2=2 mét), y=0y = 0y=0.
CCC có hoành độ x=−1,5x = -1,5x=−1,5.

Tìm hệ số aaa:

Thế A(−2,0)A(-2,0)A(−2,0) vào phương trình:

0=a(−2)2⇒0=4a⇒a=00 = a (-2)^2 \quad \Rightarrow \quad 0 = 4a \quad \Rightarrow \quad a = 00=a(−2)2⇒0=4a⇒a=0Không hợp lý. Vì vậy, chuẩn hơn: parabol úp xuống, có dạng:

y=−ax2+5y = -a x^2 + 5y=−ax2+5Thế A(−2,0)A(-2, 0)A(−2,0):

0=−a(−2)2+5⇒0=−4a+5⇒4a=5⇒a=54⇒a=1,250 = -a (-2)^2 + 5 \quad \Rightarrow \quad 0 = -4a + 5 \quad \Rightarrow \quad 4a = 5 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{5}{4} \quad \Rightarrow \quad a = 1,250=−a(−2)2+5⇒0=−4a+5⇒4a=5⇒a=45​⇒a=1,25Vậy phương trình parabol:

y=−1,25x2+5y = -1,25x^2 + 5y=−1,25x2+5
Tính độ dài khung cong (từ A đến C):

Ta dùng công thức độ dài cung parabol từ x=−2x = -2x=−2 đến x=−1,5x = -1,5x=−1,5:

Công thức:

L=∫x1x21+(dydx)2 dxL = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dxL=∫x1​x2​​1+(dxdy​)2​dxTính đạo hàm:

dydx=−2×1,25x=−2,5x⇒(dydx)2=(2,5x)2=6,25x2\frac{dy}{dx} = -2 \times 1,25 x = -2,5x \quad \Rightarrow \quad \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = (2,5x)^2 = 6,25x^2dxdy​=−2×1,25x=−2,5x⇒(dxdy​)2=(2,5x)2=6,25x2Vậy:

L=∫−2−1,51+6,25x2 dxL = \int_{-2}^{-1,5} \sqrt{1+6,25x^2} \, dxL=∫−2−1,5​1+6,25x2​dxCái này cần tính toán bằng máy tính số hoặc xấp xỉ.
Để đơn giản, vì đoạn cong từ A đến C ngắn, ta có thể xấp xỉ bằng độ dài dây cung:

Khoảng cách ACACAC theo phương ngang là 0,50,50,5 mét.
Chênh lệch độ cao:

Δy=5−(−1,25(−1,5)2+5)=5−(−1,25×2,25+5)=5−(−2,8125+5)=5−2,1875=2,8125\Delta y = 5 - \left( -1,25(-1,5)^2 + 5 \right) = 5 - \left( -1,25 \times 2,25 + 5 \right) = 5 - ( -2,8125 + 5) = 5 - 2,1875 = 2,8125Δy=5−(−1,25(−1,5)2+5)=5−(−1,25×2,25+5)=5−(−2,8125+5)=5−2,1875=2,8125Vậy chênh lệch độ cao:

5−2,8125=2,1875 m5 - 2,8125 = 2,1875 \, m5−2,8125=2,1875mĐộ dài dây AC:

AC=(1,5)2+(2,1875)2=2,25+4,78515625=7,03515625≈2,653 mAC = \sqrt{(1,5)^2 + (2,1875)^2} = \sqrt{2,25 + 4,78515625} = \sqrt{7,03515625} \approx 2,653 \, mAC=(1,5)2+(2,1875)2​=2,25+4,78515625​=7,03515625​≈2,653mVậy độ dài 1 nửa khung cong gần bằng 2,65 m2,65 \, m2,65m.

Vì có hai bên (cả trái và phải), nên tổng chiều dài khung cong:

2×2,65=5,3 m2 \times 2,65 = 5,3 \, m2×2,65=5,3m
Bước 2: Tính diện tích phần chắn (phần giữa)
Diện tích một bên (giữa CCC và GGG) xấp xỉ bằng diện tích hình thang:

S≈12(GH+độcaotạiC)×ACS \approx \frac{1}{2} (GH + độ cao tại C) \times ACS≈21​(GH+độcaotạiC)×ACTính độ cao tại C:

Đã tính ở trên: yC=2,8125 my_C = 2,8125 \, myC​=2,8125m.
Vậy:

S=12(5+2,8125)×1,5=12(7,8125)×1,5=3,90625×1,5=5,859375 m2S = \frac{1}{2} (5 + 2,8125) \times 1,5 = \frac{1}{2} (7,8125) \times 1,5 = 3,90625 \times 1,5 = 5,859375 \, m^2S=21​(5+2,8125)×1,5=21​(7,8125)×1,5=3,90625×1,5=5,859375m2Đây là diện tích một bên.
Cả hai bên:

2×5,859375=11,71875 m22 \times 5,859375 = 11,71875 \, m^22×5,859375=11,71875m2
Bước 3: Tính tổng chi phí
Phần khung cong:
5,3×1,2=6,36 triệu đoˆˋng5,3 \times 1,2 = 6,36 \, \text{triệu đồng}5,3×1,2=6,36triệu đoˆˋngPhần chắn:
11,71875×0,9=10,546875 triệu đoˆˋng11,71875 \times 0,9 = 10,546875 \, \text{triệu đồng}11,71875×0,9=10,546875triệu đoˆˋngTổng cộng:
6,36+10,55=16,91 triệu đoˆˋng6,36 + 10,55 = 16,91 \, \text{triệu đồng}6,36+10,55=16,91triệu đoˆˋng(Làm tròn đến hàng phần mười)

=> Đáp số: 16,9 triệu đồng

👉 Kết quả cuối cùng:
16,9 triệu đoˆˋng\boxed{16,9 \text{ triệu đồng}}16,9 triệu đoˆˋng​