Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh tam giác $ \triangle AEC \sim \triangle ADB $

Xét các góc:

- $ \angle AEC $ và $ \angle ADB $ đều là góc vuông (do $ CE \perp AB $ và $ BD \perp AC $)
- Hai tam giác có góc chung là $ \angle CAB $

⇒ Hai tam giác có 2 góc bằng nhau ⇒ đồng dạng theo trường hợp góc – góc (AA)

\[
\triangle AEC \sim \triangle ADB
\]

b) Gọi $ F = DE \cap CB $. Chứng minh:

1) $ \angle BEF = \angle DCF $

Do $ \triangle AEC \sim \triangle ADB $, nên các góc tương ứng của chúng bằng nhau.

→ $ \angle BEF = \angle DCF $ do tương ứng trong các tam giác đồng dạng (hoặc cùng chắn cung hoặc dựa vào tính chất đồng dạng đã chứng minh ở câu a).

\[
\angle BEF = \angle DCF
\]

2) Chứng minh $ FE \cdot FD = FB \cdot FC $

Xét tam giác đồng dạng nhỏ hơn:

- Do $ \angle BEF = \angle DCF $
→ Tam giác $ \triangle BEF \sim \triangle DCF $

→ Từ tam giác đồng dạng:
\[
\frac{FE}{FB} = \frac{FC}{FD} \Rightarrow FE \cdot FD = FB \cdot FC
\]

\[
FE \cdot FD = FB \cdot FC
\]

...Xem thêm

Answer 2

a) Chứng minh tam giác $ \triangle AEC \sim \triangle ADB $

Xét các góc:

- $ \angle AEC $ và $ \angle ADB $ đều là góc vuông (do $ CE \perp AB $ và $ BD \perp AC $)
- Hai tam giác có góc chung là $ \angle CAB $

⇒ Hai tam giác có 2 góc bằng nhau ⇒ đồng dạng theo trường hợp góc – góc (AA)

\[
\triangle AEC \sim \triangle ADB
\]

b) Gọi $ F = DE \cap CB $. Chứng minh:

1) $ \angle BEF = \angle DCF $

Do $ \triangle AEC \sim \triangle ADB $, nên các góc tương ứng của chúng bằng nhau.

→ $ \angle BEF = \angle DCF $ do tương ứng trong các tam giác đồng dạng (hoặc cùng chắn cung hoặc dựa vào tính chất đồng dạng đã chứng minh ở câu a).

\[
\angle BEF = \angle DCF
\]

2) Chứng minh $ FE \cdot FD = FB \cdot FC $

Xét tam giác đồng dạng nhỏ hơn:

- Do $ \angle BEF = \angle DCF $
→ Tam giác $ \triangle BEF \sim \triangle DCF $

→ Từ tam giác đồng dạng:
\[
\frac{FE}{FB} = \frac{FC}{FD} \Rightarrow FE \cdot FD = FB \cdot FC
\]

\[
FE \cdot FD = FB \cdot FC
\]

Answer 3

a) Chứng minh △AEC ∼ △ADB

- Có: ∠CEA = ∠DBA = 90^o (do CE, BD là đường cao)
- ∠CAE = ∠DAB (góc chung)
⇒ △AEC ∼ △ADB (g.g)

b) Gọi F = DE ∩ CBF
– Chứng minh ∠BEF = ∠DCF:

+ Từ đồng dạng ở câu a, suy ra các tam giác vuông có góc nhọn bằng nhau → ∠BEF = ∠DCF
– Chứng minh FE . FD = FB . FC:

+ △BEF ∼ △DCF (g.g)
→ $\frac{FE}{FB}$ = $\frac{FC}{FD}$ ⇒ FE . FD = FB . FC

Answer 4

Phần a) Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác ADB.

Bước 1: Xác định các yếu tố cần chứng minh. Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, chúng ta thường dùng trường hợp đồng dạng góc-góc (g.g), cạnh-góc-cạnh (c.g.c) hoặc cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c). Trong bài này, với yếu tố đường cao, trường hợp góc-góc là khả thi nhất.

Bước 2: Tìm các góc bằng nhau.

Xét tam giác ABC có BD và CE là đường cao.Vì CE⊥AB tại E, nên ∠AEC=90∘.
Vì BD⊥AC tại D, nên ∠ADB=90∘.
Hai tam giác AEC và ADB có:∠AEC=∠ADB=90∘ (do CE và BD là đường cao).
∠BAC (hay ∠A) là góc chung của cả hai tam giác.
Bước 3: Kết luận đồng dạng. Từ các yếu tố trên, ta có: △AEC∼△ADB (g.g)

Phần b) Gọi F là giao điểm của DE và CB. Chứng minh góc BEF = góc DCF. Chứng minh FE.FD = FB.FC

Bước 1: Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp.

Ta có ∠BEC=90∘ (do CE là đường cao).
Ta có ∠BDC=90∘ (do BD là đường cao).
Hai đỉnh E và D cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90∘.
Suy ra tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Bước 2: Chứng minh góc BEF = góc DCF.

Vì tứ giác BCDE nội tiếp (chứng minh trên), ta có:∠BED=∠BCD (cùng chắn cung BD).
∠CED=∠CBD (cùng chắn cung CD).
∠ADE=∠ABE (cùng chắn cung AE).
Xét góc ∠BEF: Đây là góc ngoài của tứ giác nội tiếp BCDE tại đỉnh E và F,E,D thẳng hàng.Ta có ∠BEF=∠BCD (góc ngoài của tứ giác nội tiếp tại đỉnh E bằng góc trong của đỉnh đối diện C).
Mặt khác, ∠DCF chính là ∠BCD.
Vậy, ∠BEF=∠DCF (cùng bằng ∠BCD).
Bước 3: Chứng minh FE.FD = FB.FC

Để chứng minh FE.FD=FB.FC, ta sẽ chứng minh △FBE∼△FCD.

Xét △FBE và △FCD:

∠BFE=∠CFD (hai góc đối đỉnh).
Ta đã chứng minh ∠BEF=∠DCF (ở Bước 2).
Từ hai yếu tố trên, ta có: △FBE∼△FCD (g.g)
Từ sự đồng dạng này, suy ra tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau: FCFE=FDFB
Nhân chéo các vế, ta được: FE⋅FD=FB⋅FC
Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của câu b.