Để n4+4 là lũy thừa của một số nguyên tố, ta có n4+4=pk, trong đó n là số tự nhiên, p là số nguyên tố và k là số nguyên dương.

Ta có thể phân tích biểu thức n4+4 như sau: n4+4=n4+4n2+4−4n2=(n2+2)2−(2n)2 Sử dụng hằng đẳng thức a2−b2=(a−b)(a+b), ta có: n4+4=(n2+2−2n)(n2+2+2n)=(n2−2n+2)(n2+2n+2)

Vậy ta có (n2−2n+2)(n2+2n+2)=pk. Vì p là số nguyên tố, cả hai nhân tử (n2−2n+2) và (n2+2n+2) phải là lũy thừa của p. Đặt n2−2n+2=pa và n2+2n+2=pb, với a,b là các số nguyên không âm và a+b=k. Vì n là số tự nhiên, ta có n≥1. Xét hiệu của hai nhân tử: (n2+2n+2)−(n2−2n+2)=4n Vậy pb−pa=4n.

Xét thương của hai nhân tử: n2−2n+2n2+2n+2​=(n−1)2+1(n+1)2+1​

Vì n≥1, ta có n2+2n+2>0 và n2−2n+2=(n−1)2+1>0. Ta cũng có n2+2n+2>n2−2n+2 khi 4n>0, điều này luôn đúng với n≥1. Do đó, pb>pa, suy ra b>a.

Nếu a≥1, thì p là ước của pa và pb, do đó p là ước của hiệu pb−pa=4n. Nếu a=0, thì n2−2n+2=p0=1, suy ra n2−2n+1=0, hay (n−1)2=0, vậy n=1. Khi n=1, n4+4=14+4=5=51, đây là lũy thừa của số nguyên tố p=5 với k=1. Vậy n=1 là một nghiệm.

Xét trường hợp n>1, khi đó a≥1. Ta có pa là ước của n2−2n+2 và pb là ước của n2+2n+2. Vì pb−pa=4n, ta có p là ước của 4n.

Nếu p=2, thì 2b−2a=4n, suy ra 2a(2b−a−1)=4n. Vì n>1, n2−2n+2>1, nên a≥1. Nếu a=1, 2(2b−1−1)=4n, 2b−1−1=2n. n2−2n+2=21=2, suy ra n2−2n=0, n(n−2)=0. Vì n>1, n=2. Khi n=2, n4+4=24+4=16+4=20, không phải là lũy thừa của số nguyên tố. Nếu a≥2, thì 4 là ước của pa, suy ra p=2. 2b−2a=4n, chia cả hai vế cho 4: 2b−2−2a−2=n. n2−2n+2=2a. Nếu a=2, n2−2n+2=4, n2−2n−2=0, nghiệm không nguyên. Nếu a>2, n2−2n+2 là lũy thừa của 4.

Nếu p là số nguyên tố lẻ, p là ước của 4n. Vì p lẻ, p là ước của n. Đặt n=mp với m≥1. pb−pa=4mp. Chia cả hai vế cho p: pb−1−pa−1=4m. n2−2n+2=pa⟹(mp)2−2mp+2=pa⟹m2p2−2mp+2=pa. Nếu a=1, m2p2−2mp+2=p, 2=p−m2p2+2mp=p(1−m2p+2m). Vì p là số nguyên tố lẻ, p phải là ước của 2, điều này vô lý. Nếu a≥2, 2 chia hết cho p, điều này vô lý.

Vậy trường hợp n>1 không có nghiệm.

Kết luận: Số tự nhiên n duy nhất thỏa mãn là n=1.