Cho số phức \( z = x + yi \) (với \( x \) và \( y \) là các số thực), ta có điều kiện:

\[
|z - 1 + 2i| = |z^* + 2 - 3i|
\]

với \( z^* = x - yi \). Ta thay thế \( z \) và \( z^* \):

\[
| (x - 1) + (y + 2)i | = | (x + 2) + (y + 3)i |
\]

Tính các độ lớn:

\[
\sqrt{(x-1)^2 + (y+2)^2} = \sqrt{(x+2)^2 + (y-3)^2}
\]

Bình phương hai vế để loại bỏ căn:

\[
(x-1)^2 + (y+2)^2 = (x+2)^2 + (y-3)^2
\]

Khai triển hai vế:

\[
(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4) = (x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9)
\]

Rút gọn:

\[
-2x + 5y + 5 = 4x - 6y + 13
\]

Chuyển các hạng tử về một vế:

\[
-6x + 11y - 8 = 0
\]

Hay:

\[
6x - 11y + 8 = 0
\]

Giờ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\[
P = |z - i| + |z + 6 - 4i|
\]

Thay \( z = x + yi \):

\[
P = |(x) + (y-1)i| + |(x+6) + (y-4)i|
\]

Tính độ lớn các thành phần:

\[
P = \sqrt{x^2 + (y-1)^2} + \sqrt{(x+6)^2 + (y-4)^2}
\]

Để tối thiểu hóa \( P \), ta có thể tách thành từng đường thẳng và xem xét hai điểm:

1. Điểm \( A(0, 1) \)
2. Điểm \( B(-6, 4) \)

Giữa hai điểm này, ta cần tìm một đường thẳng thể hiện \( 6x - 11y + 8 = 0 \).

Tìm giao điểm của đường thẳng \( 6x - 11y + 8 = 0 \) với đoạn thẳng nối \( A \) và \( B \).

Phương trình đoạn thẳng nối \( A \) (0, 1) và \( B \) (-6, 4):

\[
y - 1 = \frac{4 - 1}{-6 - 0}(x - 0) \implies y - 1 = -\frac{1}{2}x \implies 2y + x - 2 = 0
\]

Giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
6x - 11y + 8 = 0\\
2y + x - 2 = 0
\end{cases}
\]

Thay thế \( x = 2 - 2y \) vào phương trình đầu tiên:

\[
6(2 - 2y) - 11y + 8 = 0 \implies 12 - 12y - 11y + 8 = 0
\]

Giải:

\[
20 - 23y = 0 \implies y = \frac{20}{23} \implies x = 2 - 2\left(\frac{20}{23}\right) = 2 - \frac{40}{23} = \frac{46 - 40}{23} = \frac{6}{23}
\]

Vậy:

\[
z = \frac{6}{23} + \frac{20}{23}i
\]

Giá trị \( |z| \) sẽ là:

\[
|z| = \sqrt{\left(\frac{6}{23}\right)^2 + \left(\frac{20}{23}\right)^2} = \frac{1}{23} \sqrt{6^2 + 20^2} = \frac{1}{23} \sqrt{36 + 400} = \frac{1}{23} \sqrt{436} = \frac{\sqrt{436}}{23} = \frac{2\sqrt{109}}{23}
\]

Vậy kết quả cuối cùng:

\[
|z| = \frac{2\sqrt{109}}{23}
\]

hoặc một giá trị đơn giản hơn tùy thuộc vào yêu cầu bài toán.