Chào bạn, chúng ta sẽ cùng nhau giải bài toán hình học này từng phần nhé.

a) Chứng minh: BD = AC và BD vuông góc với AB

Xét tam giác ABM và tam giác DCM:

AM = DM (theo giả thiết)
BM = CM (vì M là trung điểm của BC)
∠AMB=∠DMC (hai góc đối đỉnh)
Vậy, △ABM=△DCM (c.g.c).

Từ đó suy ra:

AB = DC (hai cạnh tương ứng)
∠BAM=∠CDM (hai góc tương ứng)
∠ABM=∠DCM (hai góc tương ứng)
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có ∠BAC=90∘.

Ta có AB // DC (vì ∠BAM=∠CDM là hai góc so le trong bằng nhau).

Xét tứ giác ABDC:

AB // DC
AB = DC
Vậy tứ giác ABDC là hình bình hành.

Trong hình bình hành ABDC, ta có:

BD = AC (hai cạnh đối diện bằng nhau)
Để chứng minh BD vuông góc với AB, ta xét góc ∠ABD.

Vì ABDC là hình bình hành nên AC // BD. Mà AC vuông góc với AB (tam giác ABC vuông tại A). Do đó, BD vuông góc với AB.

Vậy, ta đã chứng minh được BD = AC và BD vuông góc với AB.

b) Chứng minh: M là trung điểm của IK

Ta có BI ⊥ AD tại I và CK ⊥ AD tại K. Suy ra BI // CK (cùng vuông góc với AD).

Xét hai tam giác vuông △AIB và △DKC:

AB = DC (chứng minh ở câu a)
∠BAI=∠CDK (so le trong, vì AB // DC)
∠AIB=∠DKC=90∘
Vậy, △AIB=△DKC (g.c.g).

Từ đó suy ra:

AI = DK (hai cạnh tương ứng)
BI = CK (hai cạnh tương ứng)
Xét hình thang BICK (BI // CK, ∠BIK=∠CKI=90∘). Gọi M' là giao điểm của BC và IK.

Xét hai tam giác △BIM′ và △CKM′:

∠IBM′=∠KCM′ (so le trong, vì BI // CK)
BM = CM (vì M là trung điểm của BC)
∠BMI=∠CMK′ (hai góc đối đỉnh)
Vậy, △BIM′=△CKM′ (g.c.g).

Từ đó suy ra:

IM' = KM' (hai cạnh tương ứng)
Vì M' là giao điểm của BC và IK, và M là trung điểm của BC, ta có M' trùng với M.

Vậy, IM = KM. Do đó, M là trung điểm của IK.

c) Chứng minh ba đường thẳng AH, CK, MN đồng quy

AH là đường cao của tam giác ABC: AH ⊥ BC tại H.
CK vuông góc với AD: CK ⊥ AD tại K.
N là hình chiếu của M trên BD: MN ⊥ BD tại N.
Ta có ABDC là hình bình hành, M là trung điểm của BC và AD.

Xét tam giác ABD, MN là đường trung bình ứng với cạnh AB (vì M là trung điểm AD, N là hình chiếu của M trên BD, xét trong hệ tọa độ hoặc bằng định lý Thales). Tuy nhiên, N là hình chiếu của M trên BD, nên MN ⊥ BD.

Xét hệ tọa độ với A là gốc (0;0). Giả sử B(b; 0), C(0; c). Vì tam giác vuông tại A. M là trung điểm BC ⟹M(2b​;2c​). D đối xứng với A qua M ⟹D(b;c).

Đường thẳng BC có phương trình bx​+cy​=1⟹cx+by=bc. Đường thẳng AH vuông góc BC và đi qua A(0; 0) có phương trình bx−cy=0.

Đường thẳng AD đi qua A(0; 0) và D(b; c) có phương trình y=bc​x⟹cx−by=0.

Đường thẳng CK vuông góc AD và đi qua C(0; c) có phương trình y−c=−cb​(x−0)⟹cy−c2=−bx⟹bx+cy=c2.

Đường thẳng BD đi qua B(b; 0) và D(b; c) có phương trình x=b. Đường thẳng MN vuông góc BD (x=b) và đi qua M(2b​;2c​) có phương trình y=2c​.

Để chứng minh AH, CK, MN đồng quy, ta cần tìm giao điểm của hai đường thẳng bất kỳ và chứng minh điểm đó thuộc đường thẳng còn lại.

Giao điểm của AH (bx−cy=0) và MN (y=2c​): bx−c(2c​)=0⟹bx=2c2​⟹x=2bc2​. Giao điểm là P(2bc2​;2c​).

Kiểm tra xem P có thuộc CK (bx+cy=c2) không: b(2bc2​)+c(2c​)=2c2​+2c2​=c2. Vậy điểm P thuộc đường thẳng CK.

Do đó, ba đường thẳng AH, CK, MN đồng quy tại điểm P(2bc2​;2c​).

Kết luận: Ba đường thẳng AH, CK, MN đồng quy.