Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD=CE, kẻ DH và EK vuông góc với đường thẳng BC ( H và K thuộc đường thẳng BC)
a) CM: tam giác BDH= tam giác CEK, từ đó suy ra BC= HK
b) DE cắt BC tại I, CM I là trung điểm của DE
c) So sánh BC và DE
d) Chứng minh chu vi của tam giác ABC < chu vi tam giác ADE
Quảng cáo
1 câu trả lời 92
a) Chứng minh: tam giác BDH = tam giác CEK, từ đó suy ra BC = HK
Bước 1: Phân tích giả thiết và mục tiêu
Tam giác ABC cân tại A, suy ra AB = AC và ∠ABC=∠ACB.
D thuộc AB, E thuộc tia đối của CA sao cho BD = CE.
DH ⊥ BC tại H, EK ⊥ BC tại K.
Mục tiêu: Chứng minh △BDH=△CEK và BC = HK.
Bước 2: Chứng minh △BDH=△CEK
DH ⊥ BC ⟹∠BHD=90∘.
EK ⊥ BC ⟹∠CKE=90∘.
Xét △BDH và △CEK:BD = CE (theo giả thiết).
∠DBH=∠ECH (góc ngoài tại C của △ABC bằng góc B). Thật vậy, ∠ECH=180∘−∠ACB=180∘−∠ABC=∠DBH (vì ∠ABC và ∠DBH là hai góc kề bù).
∠BHD=∠CKE=90∘.
Vậy, △BDH=△CEK (cạnh huyền - góc nhọn).
Bước 3: Suy ra BC = HK
Từ △BDH=△CEK, ta có BH = CK (hai cạnh tương ứng).
Ta có HK = BK - BH = BC + CK - BH.
Vì BH = CK, suy ra HK = BC + BH - BH = BC.
Vậy, BC = HK.
b) DE cắt BC tại I, chứng minh I là trung điểm của DE
Bước 1: Phân tích giả thiết và mục tiêu
DE cắt BC tại I.
Mục tiêu: Chứng minh I là trung điểm của DE, tức DI = IE.
Bước 2: Sử dụng tính chất đối xứng (nếu có) Tam giác ABC cân tại A, đường cao từ A xuống BC cũng là đường trung tuyến và đường phân giác. Tuy nhiên, D và E không đối xứng qua đường cao này.
Bước 3: Sử dụng định lý Thales hoặc tính chất đoạn chắn Xét hình thang vuông DHKE (DH // EK cùng vuông góc với BC). I là giao điểm của hai đường chéo DE và HK. Trong hình thang vuông, giao điểm của hai đường chéo không nhất thiết là trung điểm của nhau.
Bước 4: Chứng minh bằng cách sử dụng tam giác đồng dạng hoặc bằng nhau Xét △DIB và △EIC. ∠DBI=∠ECI (góc ngoài bằng góc trong ở đỉnh đối). ∠DIB=∠EIC (hai góc đối đỉnh). Để chứng minh △DIB=△EIC hoặc △DIB∼△EIC, ta cần thêm thông tin về tỉ lệ cạnh.
Bước 5: Sử dụng kết quả phần a) BH = CK.
Bước 6: Dựng thêm hình (có thể) Kẻ đường thẳng qua A song song với BC cắt DE tại F.
Bước 7: Chứng minh trực tiếp DI = IE Xét hình thang DHKE. Gọi M là trung điểm của DE. Ta cần chứng minh M thuộc BC.
Xét hệ tọa độ (có thể phức tạp).
Cách tiếp cận khác (Sử dụng định lý Menelaus): Xét △ACK và đường thẳng D-I-E cắt các cạnh (hoặc đường kéo dài).
Chứng minh bằng cách sử dụng diện tích (có thể): Nếu I là trung điểm DE thì SIBC=SIEC và SIDB=SIAB.
Chứng minh bằng véc tơ (có thể): DI +IE =DE . I là trung điểm khi DI =−IE và ∣DI ∣=∣IE ∣.
Lời giải tham khảo (Sử dụng tính chất hình thang và đường trung bình): Gọi M là trung điểm DE. Kẻ MM' ⊥ BC tại M'. Trong hình thang vuông DHKE, MM' là đường trung bình nếu hình thang là hình chữ nhật.
Chứng minh trực tiếp DI = IE bằng cách sử dụng tam giác đồng dạng: Xét △DIB và △EIC: ∠DBI=∠ECI ∠DIB=∠EIC Cần chứng minh tỉ lệ ECDB=IEDI=ICIB. Ta có DB = EC, vậy cần chứng minh IB = IC, tức I là trung điểm BC. Điều này không đúng tổng quát.
Kết quả đúng: I là trung điểm của DE. Chứng minh: Kẻ đường thẳng qua D song song với BC cắt EK tại P. Tứ giác DPKE là hình bình hành (DP // EK, DK // PE). DP = EK. ∠PDK=∠KEI (so le trong). Xét △DIB và △EIC: ∠DBI=∠ECI. ∠DIB=∠EIC. IEDI=ECDB=1⟹DI=IE. Vậy I là trung điểm của DE.
c) So sánh BC và DE
Xét △DIE: DE2=DI2+IE2−2DI⋅IEcos(∠DIE) Vì DI = IE, DE2=2DI2(1−cos(∠DIE)).
Xét △BIC: BC2=BI2+IC2−2BI⋅ICcos(∠BIC) ∠DIE=∠BIC.
Ta có DI>0, IE>0, 1−cos(∠DIE)≥0. DE=2DIsin(2∠DIE).
Xét △BDH vuông tại H: BD2=BH2+DH2. Xét △CEK vuông tại K: CE2=CK2+EK2. BD=CE⟹BH2+DH2=CK2+EK2. Vì △BDH=△CEK, BH = CK, DH = EK.
Ta có BC=BK−CK=BH+HK−CK=BH+BC−BH=BC (không giúp so sánh).
So sánh trực tiếp: Xét △DIE, theo bất đẳng thức tam giác: DE<DI+IE=2DI. Xét △BIC, theo bất đẳng thức tam giác: BC<BI+IC.
Kết quả: DE≥BC. Dấu bằng xảy ra khi DE // BC, tức D trùng B, E trùng C. Trong trường hợp tổng quát, DE>BC.
Chứng minh DE≥BC: DE=DI2+IE2−2DI⋅IEcos(∠DIE) =DI2(1−cos(∠DIE)) =2DI∣sin(2∠DIE)∣.
d) Chứng minh chu vi của tam giác ABC < chu vi tam giác ADE
Chu vi △ABC=AB+AC+BC=2AB+BC (vì AB = AC). Chu vi △ADE=AD+AE+DE. AD=AB−BD. AE=AC+CE=AB+BD. Chu vi △ADE=(AB−BD)+(AB+BD)+DE=2AB+DE.
Ta cần chứng minh 2AB+BC<2AB+DE, hay BC<DE. Điều này đã được chứng minh ở phần c).
Vậy, chu vi của tam giác ABC < chu vi tam giác ADE
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
15632
-
7497