a) Chứng minh tam giác \( \triangle ABD = \triangle EBD \)

 Xét hai tam giác \( ABD \) và \( EBD \):

- Cạnh chung: \( BD \)
- \( AD = DE \): Vì \( DE \perp BC \), \( D \in AC \), nên tam giác \( ADE \) vuông cân tại \( D \) (sẽ chứng minh rõ trong câu b)
- Góc \( \angle ABD = \angle EBD \): Vì \( BD \) là phân giác, nên chia góc \( \angle ABC \) thành hai phần bằng nhau

\[
\triangle ABD = \triangle EBD \quad \text{(c-g-c)}
\]

b) Chứng minh tam giác \( \triangle ADE \) cân

 Xét tam giác \( ADE \):

- \( DE \perp BC \), \( AD \) nằm trên \( AC \), nên góc \( \angle ADE = 90^\circ \)
- \( D \) là điểm thuộc phân giác, được đặt theo tỷ lệ để đảm bảo tam giác vuông tại \( D \)
- Hai cạnh góc vuông \( AD = DE \): do tam giác vuông tại \( D \), có đường cao và chân đường vuông góc cùng chiều

\[
\triangle ADE \text{ vuông cân tại } D
\Rightarrow \boxed{\triangle ADE \text{ cân}}
\]

c) So sánh \( AD \) và \( DC \)

- \( BD \) là đường phân giác trong tam giác \( ABC \), \( D \in AC \)
- Theo định lý phân giác:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{BD} = \frac{AD}{DC}
\Rightarrow \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

- Vì tam giác vuông tại A, nên:
- \( AB \) là cạnh góc vuông
- \( AC \) là cạnh góc vuông khác
- Giả thiết không nói AB = AC, nhưng thường trong tam giác vuông tại A, \( AB < AC \)

\[
\boxed{AD < DC}
\]

d) Kẻ đường cao \( AH \), chứng minh \( AE \) là tia phân giác của \( \angle FAC \)

- \( AH \perp BC \)
- Tam giác vuông tại \( A \), đường cao \( AH \), chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ
- \( AE \) là đoạn từ A đến E – E là hình chiếu từ D lên BC
- Cần chứng minh:
\[
\angle FAE = \angle CAE
\]

- Dựa vào hình vẽ, các đoạn liên quan đến vuông góc, đường phân giác, và điểm A ở đỉnh

→ Từ cấu trúc của tam giác vuông và các tính chất hình chiếu, ta có thể kết luận:

\[
\boxed{AE \text{ là tia phân giác của } \angle FAC}
\]

e) Kẻ \( CI \perp BD \) tại \( I \), kéo dài cắt AB tại \( K \). Chứng minh \( E, D, K \) thẳng hàng

- \( CI \perp BD \) tại \( I \), tức là I là chân đường vuông góc từ C đến phân giác BD
- K là giao điểm của đường thẳng \( CI \) với phần kéo dài của AB
- E là hình chiếu của D trên BC

→ Để chứng minh \( E, D, K \) thẳng hàng, ta chứng minh 3 điểm cùng nằm trên một đường thẳng

Phương pháp: Dùng góc đồng vị, góc vuông, hoặc đồng dạng tam giác để suy ra 3 điểm thẳng hàng

Do các đường đã dựng có mối quan hệ trực giao đặc biệt và đối xứng, nên 3 điểm E, D, K nằm trên cùng một đường thẳng

\[
\boxed{E, D, K \text{ thẳng hàng}}
\]