Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh 3 điểm H, F, M thẳng hàng

Xét tam giác HDC:

Ta có A là trung điểm của HD (do D thuộc tia đối của tia AH và AD = AH).
Ta có E là trung điểm của HC (theo giả thiết). => AE là đường trung bình của tam giác HDC. => AE // DC và AE = 1/2 DC.
Xét tam giác HDC:

Ta có A là trung điểm của HD (chứng minh trên).
Ta có M là trung điểm của DC (theo giả thiết). => AM là đường trung bình của tam giác HDC. => AM // HC và AM = 1/2 HC.
Xét tam giác HDC:

Trung tuyến xuất phát từ đỉnh D là DE (vì E là trung điểm HC).
Trung tuyến xuất phát từ đỉnh C là CA (vì A là trung điểm HD).
Trung tuyến xuất phát từ đỉnh H là HM (vì M là trung điểm DC). Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm.
Gọi F' là giao điểm của hai đường trung tuyến DE và CA. Theo định nghĩa, F' chính là trọng tâm của tam giác HDC. Theo giả thiết, F là giao điểm của DE và AC. => F trùng với F' (F = F'). => F là trọng tâm của tam giác HDC.
Vì F là trọng tâm của tam giác HDC, nên F phải nằm trên đường trung tuyến thứ ba là HM. => F thuộc đường thẳng HM. => Ba điểm H, F, M thẳng hàng.
b) Chứng minh HF = 1/3 DC

Ta đã chứng minh F là trọng tâm của tam giác HDC và HM là đường trung tuyến xuất phát từ H. Theo tính chất trọng tâm, trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1, kể từ đỉnh. Do đó, HF = (2/3) HM.
Xét tam giác DHC:

AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC hay AH ⊥ HC.
Vì D, A, H thẳng hàng nên DH ⊥ HC.
=> Tam giác DHC vuông tại H.
Trong tam giác vuông DHC, HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền DC (vì M là trung điểm DC). Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông, độ dài đường trung tuyến này bằng một nửa độ dài cạnh huyền. => HM = (1/2) DC.
Thay HM = (1/2) DC vào biểu thức HF = (2/3) HM: HF = (2/3) * (1/2 * DC) HF = (1/3) DC.
Kết luận:

a) Ba điểm H, F, M thẳng hàng. b) HF = 1/3 DC.

...Xem thêm

Answer 2

a) Chứng minh 3 điểm H, F, M thẳng hàng

Xét tam giác HDC:

Ta có A là trung điểm của HD (do D thuộc tia đối của tia AH và AD = AH).
Ta có E là trung điểm của HC (theo giả thiết). => AE là đường trung bình của tam giác HDC. => AE // DC và AE = 1/2 DC.
Xét tam giác HDC:

Ta có A là trung điểm của HD (chứng minh trên).
Ta có M là trung điểm của DC (theo giả thiết). => AM là đường trung bình của tam giác HDC. => AM // HC và AM = 1/2 HC.
Xét tam giác HDC:

Trung tuyến xuất phát từ đỉnh D là DE (vì E là trung điểm HC).
Trung tuyến xuất phát từ đỉnh C là CA (vì A là trung điểm HD).
Trung tuyến xuất phát từ đỉnh H là HM (vì M là trung điểm DC). Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm.
Gọi F' là giao điểm của hai đường trung tuyến DE và CA. Theo định nghĩa, F' chính là trọng tâm của tam giác HDC. Theo giả thiết, F là giao điểm của DE và AC. => F trùng với F' (F = F'). => F là trọng tâm của tam giác HDC.
Vì F là trọng tâm của tam giác HDC, nên F phải nằm trên đường trung tuyến thứ ba là HM. => F thuộc đường thẳng HM. => Ba điểm H, F, M thẳng hàng.
b) Chứng minh HF = 1/3 DC

Ta đã chứng minh F là trọng tâm của tam giác HDC và HM là đường trung tuyến xuất phát từ H. Theo tính chất trọng tâm, trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1, kể từ đỉnh. Do đó, HF = (2/3) HM.
Xét tam giác DHC:

AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC hay AH ⊥ HC.
Vì D, A, H thẳng hàng nên DH ⊥ HC.
=> Tam giác DHC vuông tại H.
Trong tam giác vuông DHC, HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền DC (vì M là trung điểm DC). Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông, độ dài đường trung tuyến này bằng một nửa độ dài cạnh huyền. => HM = (1/2) DC.
Thay HM = (1/2) DC vào biểu thức HF = (2/3) HM: HF = (2/3) * (1/2 * DC) HF = (1/3) DC.
Kết luận:

a) Ba điểm H, F, M thẳng hàng. b) HF = 1/3 DC.

1 câu trả lời 328

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 7