Câu 1: Xét dấu tam thức bậc hai f(x) = -2x² + 8x - 8

Tìm nghiệm của tam thức: Ta giải phương trình f(x) = 0: -2x² + 8x - 8 = 0 Chia cả hai vế cho -2: x² - 4x + 4 = 0 Đây là hằng đẳng thức (x - 2)²: (x - 2)² = 0 Phương trình có nghiệm kép x = 2.
Xét dấu: Tam thức bậc hai f(x) = -2x² + 8x - 8 có:

Hệ số a = -2 < 0
Nghiệm kép x = 2 Theo quy tắc xét dấu tam thức bậc hai có nghiệm kép, dấu của f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x khác nghiệm kép.
Vậy, f(x) < 0 với mọi x ≠ 2.
Tại x = 2, f(x) = 0.
Kết luận (Bảng xét dấu):

| x | -∞ | 2 | +∞ | | :---- | :--------- | :-------: | ---------: | | f(x) | - | 0 | - |
Câu 2: Xác định hàm số bậc hai (P): y = ax² + bx + 2 biết (P) đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng x = 3/2

(P) đi qua điểm A(1; 0): Thay tọa độ điểm A vào phương trình parabol (P): 0 = a(1)² + b(1) + 2 0 = a + b + 2 => a + b = -2 (Phương trình 1)
(P) có trục đối xứng x = 3/2: Trục đối xứng của parabol y = ax² + bx + c là đường thẳng x = -b / (2a). Ta có: -b / (2a) = 3/2 => -b * 2 = 3 * (2a) => -2b = 6a => b = -3a (Phương trình 2)
Giải hệ phương trình: Thay b = -3a từ (Phương trình 2) vào (Phương trình 1): a + (-3a) = -2 -2a = -2 a = 1 Thay a = 1 vào (Phương trình 2): b = -3 * 1 b = -3
Kết luận: Vậy hàm số bậc hai cần tìm là: y = x² - 3x + 2.
Câu 3: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d1: x + 3y + 8 = 0, đi qua điểm A(-2, 1) và tiếp xúc với d2: 3x - 4y + 10 = 0

Tham số hóa tọa độ tâm I: Vì I thuộc đường thẳng d1: x + 3y + 8 = 0, ta có thể biểu diễn tọa độ I theo một tham số t. Đặt yᵢ = t => xᵢ = -3t - 8. Vậy I có tọa độ là I(-3t - 8, t).
Sử dụng điều kiện đi qua A và tiếp xúc d2:

Đường tròn (C) đi qua A(-2, 1) nên bán kính R = IA. R² = IA² = (-2 - (-3t - 8))² + (1 - t)² R² = (-2 + 3t + 8)² + (1 - t)² R² = (3t + 6)² + (1 - t)² (Phương trình *)
Đường tròn (C) tiếp xúc với d2: 3x - 4y + 10 = 0 nên khoảng cách từ tâm I đến d2 bằng bán kính R. Khoảng cách d(I, d2) = |3xᵢ - 4yᵢ + 10| / √(3² + (-4)²) R = |3(-3t - 8) - 4(t) + 10| / √(9 + 16) R = |-9t - 24 - 4t + 10| / √25 R = |-13t - 14| / 5 R = |13t + 14| / 5 (Vì |-A| = |A|) => R² = (|13t + 14|)² / 25 = (13t + 14)² / 25 (Phương trình **)
Giải phương trình tìm t: Từ (*) và (**), ta có: (3t + 6)² + (1 - t)² = (13t + 14)² / 25 25 * [(9t² + 36t + 36) + (1 - 2t + t²)] = 169t² + 364t + 196 25 * (10t² + 34t + 37) = 169t² + 364t + 196 250t² + 850t + 925 = 169t² + 364t + 196 (250 - 169)t² + (850 - 364)t + (925 - 196) = 0 81t² + 486t + 729 = 0 Chia cả hai vế cho 81: t² + 6t + 9 = 0 (t + 3)² = 0 t = -3
Tìm tâm I và bán kính R:

Với t = -3, tọa độ tâm I là: xᵢ = -3(-3) - 8 = 9 - 8 = 1 yᵢ = -3 Vậy I(1, -3).
Bán kính R: R = |13(-3) + 14| / 5 = |-39 + 14| / 5 = |-25| / 5 = 25 / 5 = 5. (Hoặc tính R² = (3(-3) + 6)² + (1 - (-3))² = (-3)² + 4² = 9 + 16 = 25 => R=5).
Viết phương trình đường tròn: Đường tròn (C) có tâm I(1, -3) và bán kính R = 5. Phương trình đường tròn là: (x - 1)² + (y - (-3))² = 5² (x - 1)² + (y + 3)² = 25

=>