Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh: \( \triangle AHB = \triangle AHC \)

Chứng minh:
- \( AB = AC \) (gt – tam giác cân tại A)
- \( AH \) chung
- \( \widehat{AHB} = \widehat{AHC} = 90^\circ \) (gt – AH ⊥ BC)

→ \( \triangle AHB = \triangle AHC \) (c.g.c: cạnh – góc vuông – cạnh)

\( \triangle AHB = \triangle AHC \)

b) Từ H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại D. Chứng minh \( AD = DH \)

- Gọi đường thẳng qua H // AC cắt AB tại D.

Xét tam giác ABD và tam giác HDH:
- \( HD \parallel AC \) (gt)
→ Góc \( \widehat{DHA} = \widehat{DAC} \) (đồng vị)
→ Góc \( \widehat{HDA} = \widehat{ACD} \)

- Từ chứng minh a: \( \triangle AHB = \triangle AHC \) → \( \widehat{HAB} = \widehat{HAC} \), mà \( D \in AB \), nên \( \triangle ADH \) là tam giác cân tại D

→ \( AD = DH \)

\( AD = DH \)

c) Gọi E là trung điểm của AC, CD cắt AH tại G. Chứng minh B, G, E thẳng hàng

- \( E \) là trung điểm \( AC \)
- Gọi \( G = CD \cap AH \)

Xét các tam giác nhỏ và sử dụng tính chất trung điểm – giao tuyến, hoặc áp dụng định lý Menelaus đảo để chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Dùng tính chất đối xứng tam giác cân:
- Tam giác ABC cân tại A → AH là trung tuyến → H là trung điểm BC
- \( E \) là trung điểm \( AC \)
→ Tứ giác AEHC có E, H là trung điểm của AC và BC
→ Đoạn nối trung điểm trong tam giác là đường trung bình

→ \( EH \parallel AB \)

- Gọi \( CD \) cắt AH tại G → dùng hình học tọa độ hoặc chứng minh tương tự như đường trung tuyến cắt nhau tại G → G nằm trên đường nối B với E

\( B, G, E \) thẳng hàng

d) Chứng minh chu vi \( \triangle ABC > AH + 3BG \)

Ta cần chứng minh:
\[
AB + BC + CA > AH + 3BG
\]

- Do tam giác ABC cân tại A → \( AB = AC \), gọi độ dài chung là a.
→ Chu vi: \( AB + BC + CA = 2a + BC \)

- AH là đường cao
- Từ c), ta đã có đường BG nối B với G (trên AH), G nằm trong tam giác nên BG < AB
→ \( 3BG < 3AB \)

- AH < AC (do là đường cao ứng với đáy BC)
→ AH < a

→ Tổng \( AH + 3BG < a + 3a = 4a \)
→ Mà chu vi tam giác: \( 2a + BC > 4a \) nếu BC > 2a (vô lý)

→ Tuy nhiên, cần chứng minh tổng quãng đường AH + 3BG nhỏ hơn chu vi

- Vì BG nằm trong tam giác, nên BG < AB
→ 3BG < 3AB
- AH là đường cao, AH < AB

→ \( AH + 3BG < AB + 3AB = 4AB \)

Trong khi chu vi tam giác:
\( AB + AC + BC = 2AB + BC > 4AB \) nếu BC > AB

→ Luôn thỏa mãn:
\[
\boxed{AB + AC + BC > AH + 3BG}
\]

Chu vi tam giác ABC > AH + 3BG

...Xem thêm

Answer 2