a) Chứng minh $\triangle MHN \sim \triangle PHM$

Xét 2 tam giác: $\triangle MHN$ và $\triangle PHM$

Ta có:

- Cả hai đều vuông tại $H$
- Góc $\angle MHN$ và $\angle PHM$ đối đỉnh ⇒ bằng nhau

⇒ 2 tam giác có 1 góc vuông và 1 góc bằng nhau
→ $\triangle MHN \sim \triangle PHM$ (g.g)

b) Tính $MH, NH, HP$

Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông có đường cao:

Tam giác $MNP$ vuông tại $M$, $MH \perp NP$

Gọi các đoạn như sau:
- $MN = 5$
- $NP = \sqrt{41}$
- $MP = x$ ⇒ Ta tính $x$ bằng định lý Pythagoras:
$MP^2 = NP^2 - MN^2 = 41 - 25 = 16 \Rightarrow MP = 4 \, \text{cm}$

1. Tính MH (đường cao)

Trong tam giác vuông có đường cao từ góc vuông:

$MH^2 = MN \cdot MP = 5 \cdot 4 = 20 \Rightarrow MH = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \, \text{cm}$

2. Tính NH và HP

Công thức:

$NH = \frac{MN^2}{NP} = \frac{25}{\sqrt{41}} = \frac{25\sqrt{41}}{41} \, \text{cm}$

$HP = \frac{MP^2}{NP} = \frac{16}{\sqrt{41}} = \frac{16\sqrt{41}}{41} \, \text{cm}$

 a) $\triangle MHN \sim \triangle PHM$
 b)
 $MH = 2\sqrt{5} \, \text{cm}$
 $NH = \dfrac{25\sqrt{41}}{41} \, \text{cm}$
$HP = \dfrac{16\sqrt{41}}{41} \, \text{cm}$

a) xét 2 tam giác MHN và PHM

Tam giác MNP vuông tại M => góc ∠MNP = 90 độ.
 Có góc ∠HMN chung.
 Trong tam giác MNP, ta có ∠MNP = 90 độ.

=> ∠HMN = ∠HMP (góc chung)
=> ∠MNP = 90 độ

=> Hai tam giác MHN và PHM có hai cặp góc tương ứng bằng nhau (góc chung và góc vuông).

 => Tam giác MHN đồng dạng với tam giác PHM (g.g)

 b) 

- Ta có tam giác MNP vuông tại M, áp dụng định lý Pythagore:
$MN^2 + MH^2 = NP^2$
- Thay số vào:
$5^2 + MH^2 = (\sqrt{41})^2$
$25 + MH^2 = 41$
$MH^2 = 41 - 25 = 16$
$MH = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}$

- Trong tam giác MHP, áp dụng định lý Pythagore:
$HP^2 = MH^2 + NH^2$
$HP^2 = MN^2 + MH^2$
$HP = NP = \sqrt{41} \text{ cm}$
- Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác MHP:
$NH^2 = HP^2 - MH^2$
$NH^2 = 41 - 16 = 25$
$NH = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$

- HP đã được tính ở trên, ta có:
$HP = \sqrt{41} \text{ cm}$

 Kết luận:
- $MH = 4 \text{ cm}$
- $NH = 5 \text{ cm}$
- $HP = \sqrt{41} \text{ cm}$