Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh: \( EM = FN \)

Xét hai tam giác vuông:
- Tam giác \( \triangle EM B \) vuông tại \( M \)
- Tam giác \( \triangle FNC \) vuông tại \( N \)

Ta có:
- \( MB = CN \) (giả thiết)
- \( \angle EMB = \angle FNC = 90^\circ \)
- \( AB = AC \) (tam giác cân tại A)

⇒ Hai tam giác vuông \( \triangle EMB \) và \( \triangle FNC \) bằng nhau (cạnh huyền – góc vuông – cạnh góc vuông)

→ Suy ra: \( \boxed{EM = FN} \)

b) Qua E kẻ \( ED \parallel AC \), \( D \in BC \). Chứng minh \( MB = MD \)

Xét hai tam giác:

- \( \triangle EMB \) vuông tại M
- \( \triangle DMB \): có \( ED \parallel AC \)
⇒ Tam giác \( \triangle EMD \sim \triangle FAC \) (do đồng dạng tam giác, vì góc và song song)

Tuy nhiên cách dễ hơn:

- \( ED \parallel AC \), mà tam giác ABC cân tại A ⇒ trục đối xứng là phân giác và đường cao từ A

- Vì \( E \in AB \), và \( ED \parallel AC \), suy ra \( D \) là ảnh đối xứng của \( B \) qua đường trung trực BC (hoặc từ tính chất hình thang cân)

- Đồng thời, \( EM \perp BC \), nên \( M \) là chân đường cao từ \( E \), và \( MD \perp BC \)

⇒ Tam giác \( \triangle MBD \) có M là trung điểm của BD
Vì:
- \( \angle EMB = \angle DME \)
- \( BM = MD \)

→ \( \boxed{MB = MD} \)

c) EF cắt BC tại O. Chứng minh \( OE = OF \)

Ta đã có:
- \( EM = FN \) (câu a)
- \( EF \) là đoạn nối từ \( E \) đến \( F \)
- \( EM \perp BC \), \( FN \perp BC \) ⇒ \( EF \) vuông góc với BC tại O

⇒ O là hình chiếu vuông góc của cả \( E \) và \( F \) xuống BC ⇒ đoạn thẳng \( OE = OF \)

\[
\boxed{
\begin{aligned}
&\text{a) } EM = FN \\
&\text{b) } MB = MD \\
&\text{c) } OE = OF
\end{aligned}
}
\]

...Xem thêm

Answer 2