Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

**1. Xác định tọa độ các điểm B, C, D:**

* Hình chiếu của A(2; 3; -5) trên trục Ox là B(2; 0; 0).
* Hình chiếu của A(2; 3; -5) trên trục Oy là C(0; 3; 0).
* Hình chiếu của A(2; 3; -5) trên trục Oz là D(0; 0; -5).

**2. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác BCD:**

Tam giác BCD có các đỉnh B(2; 0; 0), C(0; 3; 0), D(0; 0; -5). Gọi H(x; y; z) là trực tâm của tam giác BCD. Ta có các vectơ:

* \(\overrightarrow{BC} = (-2; 3; 0)\)
* \(\overrightarrow{CD} = (0; -3; -5)\)
* \(\overrightarrow{BD} = (-2; 0; -5)\)

Vì H là trực tâm, ta có:

* \(\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\)
* \(\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\)

Tính \(\overrightarrow{BH}\) và \(\overrightarrow{CH}\):

* \(\overrightarrow{BH} = (x - 2; y; z)\)
* \(\overrightarrow{CH} = (x; y - 3; z)\)

Áp dụng tích vô hướng:

* \(\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{CD} = (x - 2)(0) + y(-3) + z(-5) = 0 \Rightarrow -3y - 5z = 0\)
* \(\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{BD} = x(-2) + (y - 3)(0) + z(-5) = 0 \Rightarrow -2x - 5z = 0\)

Ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
-3y - 5z = 0 \\
-2x - 5z = 0
\end{cases}
\]

Từ đây suy ra:

\[
\begin{cases}
3y = -5z \\
2x = -5z
\end{cases}
\]

Đặt \(z = t\), ta có \(y = -\frac{5}{3}t\) và \(x = -\frac{5}{2}t\). Vậy tọa độ điểm H là \(H(-\frac{5}{2}t; -\frac{5}{3}t; t)\).
Để đơn giản, ta chọn \(t = -6\), khi đó \(H(15; 10; -6)\).

**3. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng OH:**

Đường thẳng OH đi qua O(0; 0; 0) và H(15; 10; -6) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{OH} = (15; 10; -6)\).
Phương trình chính tắc của đường thẳng OH là:

\[
\frac{x}{15} = \frac{y}{10} = \frac{z}{-6}
\]

Rút gọn, ta được:

\[
\frac{x}{15} = \frac{y}{10} = \frac{z}{-6}

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

**1. Xác định tọa độ các điểm B, C, D:**

* Hình chiếu của A(2; 3; -5) trên trục Ox là B(2; 0; 0).
* Hình chiếu của A(2; 3; -5) trên trục Oy là C(0; 3; 0).
* Hình chiếu của A(2; 3; -5) trên trục Oz là D(0; 0; -5).

**2. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác BCD:**

Tam giác BCD có các đỉnh B(2; 0; 0), C(0; 3; 0), D(0; 0; -5). Gọi H(x; y; z) là trực tâm của tam giác BCD. Ta có các vectơ:

* −−→BC=(−2;3;0)
* −−→CD=(0;−3;−5)
* −−→BD=(−2;0;−5)

Vì H là trực tâm, ta có:

* −−→BH⋅−−→CD=0
* −−→CH⋅−−→BD=0

Tính −−→BH và −−→CH:

* −−→BH=(x−2;y;z)
* −−→CH=(x;y−3;z)

Áp dụng tích vô hướng:

* −−→BH⋅−−→CD=(x−2)(0)+y(−3)+z(−5)=0⇒−3y−5z=0
* −−→CH⋅−−→BD=x(−2)+(y−3)(0)+z(−5)=0⇒−2x−5z=0

Ta có hệ phương trình:

{−3y−5z=0−2x−5z=0

Từ đây suy ra:

{3y=−5z2x=−5z

Đặt z=t, ta có y=−53t và x=−52t. Vậy tọa độ điểm H là H(−52t;−53t;t).
Để đơn giản, ta chọn t=−6, khi đó H(15;10;−6).

**3. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng OH:**

Đường thẳng OH đi qua O(0; 0; 0) và H(15; 10; -6) nên có vectơ chỉ phương là −−→OH=(15;10;−6).
Phương trình chính tắc của đường thẳng OH là:

x15=y10=z−6

Rút gọn, ta được:

\[
\frac{x}{15} = \frac{y}{10} = \frac{z}{-6}