Để chứng minh đẳng thức 2a+3c2b+3d=a−cb−d\frac{2a + 3c}{2b + 3d} = \frac{a - c}{b - d}2b+3d2a+3c​=b−da−c​, ta sẽ bắt đầu từ giả thiết ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}ba​=dc​ và thực hiện các phép biến đổi theo các bước.

Bước 1: Sử dụng giả thiết ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}ba​=dc​
Từ giả thiết ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}ba​=dc​, ta có thể suy ra:

ad=bcad = bcad=bcĐiều này là vì tỉ số ab\frac{a}{b}ba​ và cd\frac{c}{d}dc​ bằng nhau, nên khi nhân chéo, ta được ad=bcad = bcad=bc.

Bước 2: Chứng minh đẳng thức
Ta cần chứng minh rằng 2a+3c2b+3d=a−cb−d\frac{2a + 3c}{2b + 3d} = \frac{a - c}{b - d}2b+3d2a+3c​=b−da−c​. Để làm điều này, ta sẽ tiến hành phân tích biểu thức bên trái và bên phải.

Biểu thức bên trái:
2a+3c2b+3d\frac{2a + 3c}{2b + 3d}2b+3d2a+3c​Biểu thức bên phải:
a−cb−d\frac{a - c}{b - d}b−da−c​Chúng ta sẽ thực hiện một phép biến đổi từ biểu thức bên trái để cho ra dạng giống biểu thức bên phải.

Bước 3: Thực hiện phép biến đổi từ bên trái sang phải
Bắt đầu từ biểu thức bên trái 2a+3c2b+3d\frac{2a + 3c}{2b + 3d}2b+3d2a+3c​, ta thực hiện phép nhân chéo để so sánh với a−cb−d\frac{a - c}{b - d}b−da−c​:

Nhân chéo biểu thức bên trái:
(2a+3c)(b−d)=(a−c)(2b+3d)(2a + 3c)(b - d) = (a - c)(2b + 3d)(2a+3c)(b−d)=(a−c)(2b+3d)Mở rộng các biểu thức ở cả hai vế:

Bên trái:
(2a+3c)(b−d)=2a(b−d)+3c(b−d)=2ab−2ad+3bc−3cd(2a + 3c)(b - d) = 2a(b - d) + 3c(b - d) = 2ab - 2ad + 3bc - 3cd(2a+3c)(b−d)=2a(b−d)+3c(b−d)=2ab−2ad+3bc−3cdBên phải:
(a−c)(2b+3d)=a(2b+3d)−c(2b+3d)=2ab+3ad−2bc−3cd(a - c)(2b + 3d) = a(2b + 3d) - c(2b + 3d) = 2ab + 3ad - 2bc - 3cd(a−c)(2b+3d)=a(2b+3d)−c(2b+3d)=2ab+3ad−2bc−3cdBước 4: So sánh hai vế
Ta đã có hai vế:

2ab−2ad+3bc−3cdvaˋ2ab+3ad−2bc−3cd2ab - 2ad + 3bc - 3cd \quad \text{và} \quad 2ab + 3ad - 2bc - 3cd2ab−2ad+3bc−3cdvaˋ2ab+3ad−2bc−3cdBây giờ, so sánh từng hạng tử:

Hạng tử 2ab2ab2ab trong cả hai vế đều giống nhau.
Hạng tử −3cd-3cd−3cd trong cả hai vế cũng giống nhau.
Hạng tử −2ad-2ad−2ad bên trái và +3ad+3ad+3ad bên phải, chúng ta có thể đưa vào nhau vì ad=bcad = bcad=bc (theo giả thiết).
Khi thay thế ad=bcad = bcad=bc vào, ta sẽ thấy rằng các hạng tử còn lại đều bằng nhau, và do đó ta có thể kết luận rằng hai vế bằng nhau.

Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh được rằng:

2a+3c2b+3d=a−cb−d\frac{2a + 3c}{2b + 3d} = \frac{a - c}{b - d}2b+3d2a+3c​=b−da−c​