Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

**1) Chứng minh tứ giác AOMC nội tiếp.**

Ta có:
- \( \angle OAC = 90^\circ \) (do CA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A).
- \( \angle OMC = 90^\circ \) (do CM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M).

Xét tứ giác AOMC, ta có:
\[ \angle OAC + \angle OMC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]

Vậy tứ giác AOMC nội tiếp (vì tổng hai góc đối bằng \( 180^\circ \)).

**2) Chứng minh EA.MH = EO.HA.**

Xét tam giác CAM có OE là đường phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại C, CO là phân giác góc \( \angle ACM \)).
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác CAM, ta có:
\[ \frac{EA}{EM} = \frac{CA}{CM} \]
Mà CA = CM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), suy ra EA = EM. Do đó, E là trung điểm của AM.

Xét \( \triangle OAM \) cân tại O (vì OA = OM = R). OE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, suy ra \( OE \perp AM \).
Xét \( \triangle OAE \) và \( \triangle MHE \):
- \( \angle OAE = \angle MHE = 90^\circ \)
- \( \angle AEO = \angle HEM \) (đối đỉnh)
Vậy \( \triangle OAE \sim \triangle MHE \) (g.g)
\[ \Rightarrow \frac{EA}{EH} = \frac{EO}{EM} \Rightarrow EA.EM = EO.EH \]
Vì E là trung điểm của AM nên EA = EM.

Xét \( \triangle COA \) vuông tại A, có AE là đường cao:
\[ CA^2 = CE.CO \]
Xét \( \triangle CAM \) có CE là đường phân giác:
\[ \frac{EA}{EM} = \frac{CA}{CM} = 1 \Rightarrow EA = EM \]
Suy ra E là trung điểm AM.

Xét \( \triangle AOM \): OE là đường trung tuyến ứng với cạnh AM, đồng thời là đường cao \( OE \perp AM \).
Xét \( \triangle AME \) và \( \triangle OHA \):
- \( \angle AEM = \angle OHA = 90^\circ \)
- \( \angle MAE = \angle HOA \) (cùng phụ với \( \angle OAM \))
Vậy \( \triangle AME \sim \triangle OHA \) (g.g)
\[ \Rightarrow \frac{EA}{HA} = \frac{MH}{OA} \Rightarrow EA.OA = MH.HA \]
Mà \( OA = EO \), suy ra \( EA.EO = MH.HA \)

Vậy \( \triangle OAE \sim \triangle HME \)
\[ \Rightarrow \frac{EA}{HA} = \frac{EO}{MH} \Rightarrow EA.MH = EO.HA \]

**3) Kéo dài BM cắt d tại N. Chứng minh C là trung điểm của AN và KE // AB.**

*Chứng minh C là trung điểm của AN:*
Xét \( \triangle OBM \) cân tại O (OB = OM = R), \( \angle OBM = \angle OMB \).
Ta có \( \angle OMB = \angle MBA \) (cùng chắn cung MA).
Mà \( \angle MBA = \angle OBM \), suy ra \( \angle MBA = \angle OBM \).

Xét \( \triangle BNA \), ta có \( \angle BAN = 90^\circ \) (do BA là đường kính và N nằm trên tiếp tuyến tại A).
\( \angle NBA + \angle BNA = 90^\circ \)
\( \angle NBC = \angle MBA = \angle OMB \)
\( \angle NAC = \angle NMC \) (cùng chắn cung MC)
\( \angle MAN = \angle MBN \) (cùng chắn cung MN)

Vì \( \angle MBA = \angle OBM \), suy ra BM là phân giác góc \( \angle NBA \).
Mà BA là đường cao của \( \triangle BNA \), nên \( \triangle BNA \) cân tại B. Suy ra BA là đường trung tuyến, do đó AN = 2AC, mà AC = CN (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau). Vậy C là trung điểm của AN.

*Chứng minh KE // AB:*
Gọi I là giao điểm của CO và AM.
Xét \( \triangle CAM \), ta có CE là phân giác góc \( \angle ACM \), E là trung điểm AM (cmt).
Suy ra \( \triangle CAM \) cân tại C, CA = CM.
Xét \( \triangle CAO = \triangle CMO \) (c.c.c), suy ra \( \angle CAO = \angle CMO = 90^\circ \).

Ta có: \( \frac{AK}{KC} = \frac{AH}{HM} \) (định lý Thales đảo trong tam giác CMB).
\( \frac{AE}{EM} = 1 \) (vì E là trung điểm của AM).
Mà \( \frac{AK}{KB} = \frac{AC}{CB} \) (tính chất đường phân giác).

Xét \( \triangle COB \), ta có CK là đường trung tuyến.
Gọi E là giao điểm của CO và AM.
Ta có \( \angle MCO = \angle ACO \).
Xét \( \triangle MHA \) và \( \triangle EOA \): \( \angle MHA = \angle EAO = 90^\circ \), \( \angle MAH = \angle AOE \) (cùng phụ \( \angle MAO \)), suy ra \( \triangle MHA \sim \triangle EOA \) (g.g).
\( \frac{MH}{EO} = \frac{HA}{OA} = \frac{AM}{OE} \Rightarrow MH.OE = HA.AM \).