Cho đường tròn tâm O bán kính R, kẻ đường kính AB. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A. Lấy C là một điểm bất kì trên d (điểm C khác điểm A). Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CM với (O) (M là tiếp điểm). Kẻ MH vuông góc với AB tại H. Gọi E là giao điểm của CO và MA, gọi K là giao điểm của CB và MH.
1) Chứng minh tứ giác AOMC nội tiếp.
2) Chứng minh EA.MH = EO.HA.
3) Kéo dài BM cắt d tại N. Chứng minh C là trung điểm của AN và KE // AB.

Question

VietJack · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

**1) Chứng minh tứ giác AOMC nội tiếp.**

Ta có:
- $\angle OAC = 90^\circ$ (do CA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A).
- $\angle OMC = 90^\circ$ (do CM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M).

Xét tứ giác AOMC, ta có:
$\angle OAC + \angle OMC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Vậy tứ giác AOMC nội tiếp (vì tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ ).

**2) Chứng minh EA.MH = EO.HA.**

Xét tam giác CAM có OE là đường phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại C, CO là phân giác góc $\angle ACM$ ).
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác CAM, ta có:
$\frac{EA}{EM} = \frac{CA}{CM}$
Mà CA = CM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), suy ra EA = EM. Do đó, E là trung điểm của AM.

Xét $\triangle OAM$ cân tại O (vì OA = OM = R). OE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, suy ra $OE \perp AM$ .
Xét $\triangle OAE$ và $\triangle MHE$ :
- $\angle OAE = \angle MHE = 90^\circ$
- $\angle AEO = \angle HEM$ (đối đỉnh)
Vậy $\triangle OAE \sim \triangle MHE$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{EA}{EH} = \frac{EO}{EM} \Rightarrow EA.EM = EO.EH$
Vì E là trung điểm của AM nên EA = EM.

Xét $\triangle COA$ vuông tại A, có AE là đường cao:
$CA^2 = CE.CO$
Xét $\triangle CAM$ có CE là đường phân giác:
$\frac{EA}{EM} = \frac{CA}{CM} = 1 \Rightarrow EA = EM$
Suy ra E là trung điểm AM.

Xét $\triangle AOM$ : OE là đường trung tuyến ứng với cạnh AM, đồng thời là đường cao $OE \perp AM$ .
Xét $\triangle AME$ và $\triangle OHA$ :
- $\angle AEM = \angle OHA = 90^\circ$
- $\angle MAE = \angle HOA$ (cùng phụ với $\angle OAM$ )
Vậy $\triangle AME \sim \triangle OHA$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{EA}{HA} = \frac{MH}{OA} \Rightarrow EA.OA = MH.HA$
Mà $OA = EO$ , suy ra $EA.EO = MH.HA$

Vậy $\triangle OAE \sim \triangle HME$
$\Rightarrow \frac{EA}{HA} = \frac{EO}{MH} \Rightarrow EA.MH = EO.HA$

**3) Kéo dài BM cắt d tại N. Chứng minh C là trung điểm của AN và KE // AB.**

*Chứng minh C là trung điểm của AN:*
Xét $\triangle OBM$ cân tại O (OB = OM = R), $\angle OBM = \angle OMB$ .
Ta có $\angle OMB = \angle MBA$ (cùng chắn cung MA).
Mà $\angle MBA = \angle OBM$ , suy ra $\angle MBA = \angle OBM$ .

Xét $\triangle BNA$ , ta có $\angle BAN = 90^\circ$ (do BA là đường kính và N nằm trên tiếp tuyến tại A).
$\angle NBA + \angle BNA = 90^\circ$
$\angle NBC = \angle MBA = \angle OMB$
$\angle NAC = \angle NMC$ (cùng chắn cung MC)
$\angle MAN = \angle MBN$ (cùng chắn cung MN)

Vì $\angle MBA = \angle OBM$ , suy ra BM là phân giác góc $\angle NBA$ .
Mà BA là đường cao của $\triangle BNA$ , nên $\triangle BNA$ cân tại B. Suy ra BA là đường trung tuyến, do đó AN = 2AC, mà AC = CN (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau). Vậy C là trung điểm của AN.

*Chứng minh KE // AB:*
Gọi I là giao điểm của CO và AM.
Xét $\triangle CAM$ , ta có CE là phân giác góc $\angle ACM$ , E là trung điểm AM (cmt).
Suy ra $\triangle CAM$ cân tại C, CA = CM.
Xét $\triangle CAO = \triangle CMO$ (c.c.c), suy ra $\angle CAO = \angle CMO = 90^\circ$ .

Ta có: $\frac{AK}{KC} = \frac{AH}{HM}$ (định lý Thales đảo trong tam giác CMB).
$\frac{AE}{EM} = 1$ (vì E là trung điểm của AM).
Mà $\frac{AK}{KB} = \frac{AC}{CB}$ (tính chất đường phân giác).

Xét $\triangle COB$ , ta có CK là đường trung tuyến.
Gọi E là giao điểm của CO và AM.
Ta có $\angle MCO = \angle ACO$ .
Xét $\triangle MHA$ và $\triangle EOA$ : $\angle MHA = \angle EAO = 90^\circ$ , $\angle MAH = \angle AOE$ (cùng phụ $\angle MAO$ ), suy ra $\triangle MHA \sim \triangle EOA$ (g.g).
$\frac{MH}{EO} = \frac{HA}{OA} = \frac{AM}{OE} \Rightarrow MH.OE = HA.AM$ .

VietJack · Answer

1) Chứng minh AOMC nội tiếp: -CM và AC là tiếp tuyến ⇒ ∠ OMA = ∠ OAC=90o -Tổng hai góc đối của tứ giác AOMC là 180o ⇒ AOMC nội tiếp 2) Chứng minh EA.MH = EO.HA: - △EAO ∼ △EMH (g.g) ⇒ EAEO= MHHA. - Suy ra EA.MH=EO.HA 3) Chứng minh C là trung điểm của ANvà KE∥AB: - AC = CM, BM kéo dài cắt d tại N, nên C là trung điểm của AN. - KE và AB cùng vuông góc với MH ⇒ KE∥AB

2 câu trả lời 36

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9