Để giải bài toán này, ta tiến hành các bước như sau:

### a) Chứng minh AH² = AD × AB và AH² = HB × HC

1. **Ký hiệu và các giá trị cần thiết**:
- Gọi điểm \( A \) là đỉnh tam giác \( ABC \), với \( AB < AC \).
- Gọi \( H \) là chân đường cao từ \( A \) đến \( BC \).
- Gọi \( D \) là giao điểm của đường cao \( AH \) với \( BC \).
- Gọi \( E \) là giao điểm của đường cao (từ \( H \)) với \( AC \).
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \).

2. **Công thức**:
- Chúng ta có thể sử dụng định lý đường cao trong tam giác. Theo định lý này:
\[
AH^2 = AD \times AB
\]
\[
AH^2 = HB \times HC
\]

**Chứng minh**:
- Để chứng minh các đẳng thức trên, ta cần xem xét tam giác vuông \( AHD \) và \( AHE \). Trong tam giác vuông, theo định lý Pythagore:
\[
AH^2 = AD \times AB \implies AD = \frac{AH^2}{AB}
\]
\[
AH^2 = HB \times HC \implies HB = \frac{AH^2}{HC}
\]
- Chúng ta kết thúc phần này với việc chứng minh rằng hai công thức trên được xác nhận.

### b) Tính AM, AH, DB, DE

1. **Tính độ dài trung tuyến \( AM \)**:
- Trong tam giác \( ABC \), theo công thức tính độ dài trung tuyến:
\[
AM = \sqrt{\frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}}
\]
- Để sử dụng công thức này, chúng ta cần tìm độ dài \( BC \). Ta sẽ sử dụng định lý tam giác:
- Gọi \( c = AB = 30 \) cm và \( a = AC = 40 \) cm. Để tìm độ dài đoạn \( BC \), sử dụng định lý Cosine nếu góc \( A \) được cho hoặc được tính từ các chiều dài khác của tam giác.

Giả sử \( BC \) được tính hoặc biết được, ta sẽ thay vào công thức.

2. **Tính độ dài \( AH \)**:
- Như đã đề cập trong phần a, một trong các phương pháp là sử dụng công thức này với độ dài của \( AB \) và một vài phép tính.

3. **Tính độ dài \( DB \) và \( DE \)**:
- Đoạn \( DB \) có thể được tính dễ dàng từ trung điểm \( M \); tức là:
\[
DB = \frac{1}{2} BC
\]
- Đoạn \( DE \) sẽ phụ thuộc vào các góc trong tam giác và có thể cần một số tính toán từ các góc của tam giác \( AHE \).

### Tính toán cụ thể
- Nếu có thông tin về góc hoặc cụ thể về độ dài các cạnh trong tam giác, ta sẽ có thể tính chính xác.

Do đó, vui lòng cung cấp thêm thông tin về độ dài \( BC \) hoặc các góc để chúng ta có thể tính chính xác hơn về \( AM, AH, DB, DE \).