Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ từng bước giải quyết từng phần của câu hỏi.

 a) Tính độ dài đoạn thẳng DB, DC, EC.

Đầu tiên, chúng ta tính độ dài của các cạnh của tam giác vuông ABC. Theo dữ liệu đề bài:

- AB = 3 cm
- AC = 8 cm
- Do ABC vuông tại A, chúng ta có thể tính cạnh BC bằng định lý Pythagore:

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \approx 8.54 \, cm$

Tiếp theo, chúng ta tính các đoạn DB, DC, EC theo công thức của đoạn phân giác trong tam giác.

1. Tính DB:
$DB = \frac{AC \cdot AB}{AC + AB} = \frac{8 \cdot 3}{8 + 3} = \frac{24}{11} \approx 2.18 \, cm$

2. Tính DC:
$DC = \frac{AB \cdot BC}{AB + BC} = \frac{3 \cdot \sqrt{73}}{3 + \sqrt{73}}$

3. Tính EC:
$EC = \frac{AB \cdot AC}{AC + BC} = \frac{3 \cdot 8}{8 + \sqrt{73}}$

 b) Chứng minh tam giác CHD đồng dạng với tam giác CAB.

Ta có:

- Tam giác CAB là tam giác vuông tại A.
- Điểm D nằm trên cạnh BC và H là chân đường vuông góc từ D đến AC.

Gọi các góc:
- ∠CAD = ∠HAD (đều đối diện với AD),
- ∠CBA = ∠CHD (góc chung).

Từ đó, ta suy ra rằng:
- ∠CAB + ∠ACB = 90°,
- ∠HAD + ∠CHD = 90°.

Vì vậy, theo tính chất của các tam giác vuông, chúng ta có thể kết luận rằng:

$\triangle CHD \sim \triangle CAB$

 c) Tính khoảng cách từ O đến cạnh AC.

Khoảng cách từ điểm O tới cạnh AC là:

$h_O = \frac{AB \cdot AC}{AB + AC} = \frac{3 \cdot 8}{3 + 8} = \frac{24}{11} \approx 2.18 \, cm$

 d) Tính diện tích tam giác DOE.

Để tìm diện tích tam giác DOE, chúng ta sử dụng công thức diện tích:

$S = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot EC$

Tuy nhiên, trước khi tính diện tích, chúng ta cần xác định độ dài của DB và EC đã tính như trên. Khi đã có chiều dài của các cạnh, chúng ta sử dụng:

$S_{DOE} = \frac{1}{2} \cdot \text{DB} \cdot \text{EC}$

 Tóm tắt các kết quả:

- Đoạn DB, DC, EC đã tính toán và được sử dụng để giải quyết các phần tiếp theo.
- Các tam giác đồng dạng và khoảng cách từ O đến AC đã được chứng minh và có thể được áp dụng để tính diện tích.

Nếu bạn cần làm rõ thêm hoặc các cụ thể các phép tính chính xác cho từng đoạn, hãy cho tôi biết!